Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Αύγ 05, 2012 10:33 pm

Ανοίγω αυτό το θέμα, με σκοπό να συλλέξουμε κάποια βασικά, εισαγωγικά ας τα πούμε, θέματα για μαθητές Γυμνασίου που δεν είναι εξοικειωμένοι με τα θέματα που συζητάμε ΕΔΩ

Η ιδέα ανήκει στον στυλοβάτη της προσπάθειας αυτής, τον ΔΗΜΗΤΡΗ.

Ας δίνουμε εδώ σιγά - σιγά κάποια βατά και βασικά θέματα, περιμένοντας τις απαντήσεις των μαθητών, που θα ήθελαν να ασχοληθούν.
Κατόπιν, οι συμβουλές, τα μυστικά, οι τεχνικές, οι προεκτάσεις που θα αποκαλύπτονται σταδιακά θα είναι δυνατό εργαλείο στα χέρια των μικρών μας μαθητών.

Ευχαριστώ!


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από kleovoulos » Κυρ Αύγ 05, 2012 10:50 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Ανοίγω αυτό το θέμα, με σκοπό να συλλέξουμε κάποια βασικά, εισαγωγικά ας τα πούμε, θέματα για μαθητές Γυμνασίου που δεν είναι εξοικειωμένοι με τα θέματα που συζητάμε ΕΔΩ

Η ιδέα ανήκει στον στυλοβάτη της προσπάθειας αυτής, τον ΔΗΜΗΤΡΗ.

Ας δίνουμε εδώ σιγά - σιγά κάποια βατά και βασικά θέματα, περιμένοντας τις απαντήσεις των μαθητών, που θα ήθελαν να ασχοληθούν.
Κατόπιν, οι συμβουλές, τα μυστικά, οι τεχνικές, οι προεκτάσεις που θα αποκαλύπτονται σταδιακά θα είναι δυνατό εργαλείο στα χέρια των μικρών μας μαθητών.

Ευχαριστώ!


Πολύ ενδιαφέρον κύριε Ρίζο. Έτσι, οι μαθητές που ενδιαφερόμαστε και έχουμε μέινει πίσω, θα έχουμε την ευκαιρία να συμμετέχουμε ενεργά σε θέματα κατάλληλα για το επίπεδό μας.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Atemlos » Κυρ Αύγ 05, 2012 11:45 pm

Άσκηση 2)

Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{a = {3^4} \cdot {44^3}} και \displaystyle{b = {4^3} \cdot {33^4}}

(Ελπίζω να μην έχει ξαναμπεί)


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Φωτεινή » Δευ Αύγ 06, 2012 12:47 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πάμε με μια εύκολη, λοιπόν Κλεόβουλε:
ΑΣΚΗΣΗ-1-

Αν : \displaystyle{\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}}

κα αν: \displaystyle{2x -3y +5z =10},

να βρεθούν οι αριθμοί x , y, z


Aρχικά αφού όλα τα κλάσματα είναι ίσα μεταξύ τους είναι ίσα με έναν αριθμό k.

\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}=k

Αντιστοιχίζουμε τους x , y, z με το k.

\frac{x-1}{2}=k \Leftrightarrow 2k=x-1\Leftrightarrow x=2k+1
\frac{y+3}{5}=k \Leftrightarrow 5k=y+3 \Leftrightarrow y=5k-3
\frac{5-z}{7}=k\Leftrightarrow 7k=5-z \Leftrightarrow z=-7k+5

Tώρα αντικαθιστούμε τους x , y, z με το k.

2x-3y+5z=10 \Leftrightarrow 2(2k+1)-3(5k-3)+5(-7k+5) = 10 \Leftrightarrow 4k+2-15k+9-35k+25=10 \Leftrightarrow 4k-15k-35k=10-2-9-25 \Leftrightarrow -46k = -26 \Leftrightarrow k=\frac{-26}{-46} \Leftrightarrow k=\frac{26}{46}

Oπότε τώρα μπορούμε να βρούμε τις τιμές τους.

\frac{x-1}{2} = \frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(x-1) = 26 *2\Leftrightarrow 46x-46=52 \Leftrightarrow 46x=52+46 \Leftrightarrow x=\frac{98}{46}=\frac{49}{23}

\frac{y+3}{5}=\frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(y+3)=5*26\Leftrightarrow 46y+138=130 \Leftrightarrow 46y=130-138\Leftrightarrow 46y=-8 \Leftrightarrow y=\frac{-8}{46}=\frac{-4}{23}

\frac{5-z}{7} = \frac{26}{46} \Leftrightarrow 46(5-z) = 7*26 \Leftrightarrow 230-46z=182\Leftrightarrow -46z=182-230\Leftrightarrow -46z=-48\Leftrightarrow z=\frac{-48}{-46}\Leftrightarrow z=\frac{48}{46}=\frac{24}{23}

Άρα x=\frac{49}{23} , y=\frac{-4}{23}, z=\frac{24}{23}.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από gian7 » Δευ Αύγ 06, 2012 1:35 am

Atemlos έγραψε:Άσκηση 2)

Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{a = {3^4} \cdot {44^3}} και \displaystyle{b = {4^3} \cdot {33^4}}

(Ελπίζω να μην έχει ξαναμπεί)


Έστω \displaystyle{a<b}. Τότε : \displaystyle{3^4\cdot44^3<4^3\cdot 33^4 \Leftrightarrow  (\frac{44}{4})^3 < (\frac{33}{3})^4 \Leftrightarrow 11^3 < 11^4.}, που ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική υπόθεση


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Αύγ 06, 2012 3:11 am

ΑΣΚΗΣΗ 3: Αν οι αριθμοί x, y , είναι ομόσημοι και ισχύουν οι σχέσεις:

\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{w}} , \displaystyle{xyz=64w^3}, και , \displaystyle{x+y+z=42},

να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x , y ,z , w}


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από kleovoulos » Δευ Αύγ 06, 2012 7:15 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3: Αν οι αριθμοί x, y , είναι ομόσημοι και ισχύουν οι σχέσεις:

\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{w}} , \displaystyle{xyz=64w^3}, και , \displaystyle{x+y+z=42},

να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x , y ,z , w}


Όπως πάντα κ. Δημήτρη, δύσκολα και ενδιαφέροντα προβλήματα. Ας ξεκινήσω.

Καταρχήν, αφού όλοι οι λόγοι είναι ίσοι μεταξύ τους, θα είναι ίσοι και με έναν αριθμό n.

\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{w}= n

Άρα
\frac{x}{y}=n \Leftrightarrow x=ny
και
\frac{y}{z}=n \Leftrightarrow y=nz
και
\frac{z}{w}=n \Leftrightarrow z=nw

Συνεπώς:
z=nw
y=nz\Leftrightarrow y=n * n * w \Leftrightarrow y={n}^{2}w
x=ny \Leftrightarrow y=n * {n}^{2}w = {n}^{3}w

Οπότε xyz=64{w}^{3} \Leftrightarrow {n}^{3}w * {n}^{2}w * nw=64{w}^{3} \Leftrightarrow {n}^{6}{w}^{3}=64{w}^{3} \Leftrightarrow {n}^{6}= 64\Leftrightarrow n=\sqrt[6]{64} \Leftrightarrow n=2

Ο λόγος για τον οποίο ο n είναι θετικός είναι επειδή n=\frac{x}{y} και x,y ομόσημοι αριθμοί.

Τώρα βρίσκουμε τους x,y,z συναρτήσει του w:

Έχουμε x+y+z=42 και γνωρίζουμε ότι:

x={n}^{3}w = {2}^{3}w = 8w
y={n}^{2}w = {2}^{2}w = 4w
z=nw = 2w

Οπότε αντικαθιστούμε τους x,y,z με τους w τύπους:

x+y+z=42\Leftrightarrow 8w+4w+2w=42 \Leftrightarrow 14w=42 \Leftrightarrow w=\frac{42}{14} \Leftrightarrow w=3

Tώρα είναι εύκολο να βρούμε τους x,y και z.

x=8w=8*3=24
y=4w=4*3=12
z=2w=2*3=6

Αν θέλουμε να επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα μπορούμε να κάνουμε και πάλι αντικατάσταση.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Αύγ 06, 2012 11:08 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4:Να βρεθούν τα ψηφία x , y, αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 4x25y διαιρείται με το 2, με το 3 και με το 5 και ότι είναι μικρότερος από τον αριθμό 44.10^3


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από kleovoulos » Τρί Αύγ 07, 2012 2:00 pm

Αν δε πειράζει, θέλω να κάνω μία πρόταση. - Καλό θα ήτανε κάθε δημοσίευση να έχει ένα κομμάτι θεωρίας και ένα παράδειγμα ασκήσεων, και ύστερα ασκήσεις προς λύση ώστε να ξέρουμε πώς να κινηθούμε. Συγκεκριμένα, δεν έχουμε δει κάτι παρόμοιο με την άσκηση από πάνω, τουλάχιστον όχι φέτος (Β' Γυμνασίου). Χθες παρείγγειλα το "Ολυμπιάδες Μαθηματικών" του κ. Στεργίου. Πιστεύετε πώς θα με βοηθήσει;
-----

ΑΣΚΗΣΗ 4:Να βρεθούν τα ψηφία x,y αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 4x25y διαιρείται με το 2, με το 3 ,με το 5 και ότι είναι μικρότερος από τον αριθμό 44.{10}^{3}.

Aρχίζουμε λέγοντας ότι το 4x25y<44*{10}^{3} \Leftrightarrow 4x25y<44000

O αριθμός 4x25y είναι άρτιος αφού διαιρείται με το 2 και το 5, που σημαίνει ότι το y μπορεί να πάρει ΜΟΝΟ την τιμή 0. (έτσι ώστε να διαρείται και με το 5 και με το 2, και για να ισχύσει αυτό, ο αριθμός πρέπει να λήγει σε 0.

Δεδομένου του ότι ο αριθμός είναι μικρότερος του 44000, και αφού το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε:

4+x+2+5+0=πολ3, δηλαδή, 11+x=3k\Rightarrow x=3k-11



Όμως 0\leq x\leq 4, άρα 0\leq 3k-11\leq 4, όπου ο k είναι ακέραιος.


Οπότε : 0\leq 3k-11 \Leftrightarrow 3k\geq 11 \Leftrightarrow k\geq \frac{11}{3} ΚΑΙ 3k-11\leq 4 \Leftrightarrow 3k\leq 4+11 \Leftrightarrow 3k\leq 15 \Leftrightarrow k\leq 5

Οι κοινές ακέραιες λύσεις είναι το 4 και το 5.

Οπότε το χ μπορεί να πάρει τις τιμές x=3k-11\Leftrightarrow x=3*4-11\Leftrightarrow x=1 ή x=3k-11\Leftrightarrow x=3*5-11\Leftrightarrow x=4. Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άθροισμα πολλαπλάσιο του 3, όμως αν πάρουμε το χ ως 4, τότε ξεπερνάμε τον αριθμό 44000. Οπότε το χ παίρνει την τιμή 1.

y=0
x=1
Και ο αριθμός είναι 41250
τελευταία επεξεργασία από kleovoulos σε Τρί Αύγ 07, 2012 4:16 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Αύγ 07, 2012 3:10 pm

kleovoulos έγραψε:Αν δε πειράζει, θέλω να κάνω μία πρόταση. - Καλό θα ήτανε κάθε δημοσίευση να έχει ένα κομμάτι θεωρίας και ένα παράδειγμα ασκήσεων, και ύστερα ασκήσεις προς λύση ώστε να ξέρουμε πώς να κινηθούμε. Συγκεκριμένα, δεν έχουμε δει κάτι παρόμοιο με την άσκηση από πάνω, τουλάχιστον όχι φέτος (Β' Γυμνασίου). Χθες παρείγγειλα το "Ολυμπιάδες Μαθηματικών" του κ. Στεργίου. Πιστεύετε πώς θα με βοηθήσει;
-----

ΑΣΚΗΣΗ 4:Να βρεθούν τα ψηφία x,y αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 4x25y διαιρείται με το 2, με το 3 ,με το 5 και ότι είναι μικρότερος από τον αριθμό 44.{10}^{3}.

Aρχίζουμε λέγοντας ότι το 4x25y<44*{10}^{3} \Leftrightarrow 4x25y<44000

Και έστω ότι 4x25y=c
c=\pi o\lambda \lambda. 2,3,5

Για να βρούμε τις τιμές που μπορεί να πάρει το c, θα βρούμε τα κοινά πολλαπλάσια των 2,3 και 5.

Έστω ότι c\in A
Όπου A = {30,60,90,120,150,180...,43980}

Όμως για να είναι ακέραιοι αριθμοί οι x,y πρέπει :

c\in B

Όπου:
B={150,300,450,600,750,900,1050...43950}

Tέλος, με γρήγορους και πρόχειρους υπολογισμούς βρίσκουμε ότι το ^x{min}=25 και ^y{min}=2.
Eνώ ^x{max}=10750 και ^y{max}=38.

Όπως προανέφερα δεν έχω δει κάτι παρόμοιο οπότε προφανώς είναι λάθος η λύση. Όποιος άλλος θέλει να επιχειρήσει ας το κάνει.



Γράφω το τι μας χρειάζεται από την Α Γυμνασίου:

(α) Ένας αριθμός διαιρείται με το 2, αν είναι άρτιος (δηλ. λήγει σε 0 , 2 , 4 , 6 , 8).

(β) Ένας αριθμός διαιρείται με το 5, αν και μόνο αν΄λήγει σε 0, ή σε 5

(γ) Ένας αριθμός διαιρείται με το 3, αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του, είναι πολλαπλάσιο του 3

Συνδύασε τώρα τα παραπάνω και προσπάθησε να λύσεις την άσκηση.


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από kleovoulos » Τρί Αύγ 07, 2012 4:19 pm

Αυτήν είναι η λύση.


kleovoulos έγραψε:
Aρχίζουμε λέγοντας ότι το 4x25y<44*{10}^{3} \Leftrightarrow 4x25y<44000

O αριθμός 4x25y είναι άρτιος αφού διαιρείται με το 2 και το 5, που σημαίνει ότι το y μπορεί να πάρει ΜΟΝΟ την τιμή 0. (έτσι ώστε να διαρείται και με το 5 και με το 2, και για να ισχύσει αυτό, ο αριθμός πρέπει να λήγει σε 0.

Δεδομένου του ότι ο αριθμός είναι μικρότερος του 44000, και αφού το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε:

4+x+2+5+0=πολ3, δηλαδή, 11+x=3k\Rightarrow x=3k-11



Όμως 0\leq x\leq 4, άρα 0\leq 3k-11\leq 4, όπου ο k είναι ακέραιος.


Οπότε : 0\leq 3k-11 \Leftrightarrow 3k\geq 11 \Leftrightarrow k\geq \frac{11}{3} ΚΑΙ 3k-11\leq 4 \Leftrightarrow 3k\leq 4+11 \Leftrightarrow 3k\leq 15 \Leftrightarrow k\leq 5

Οι κοινές ακέραιες λύσεις είναι το 4 και το 5.

Οπότε το χ μπορεί να πάρει τις τιμές x=3k-11\Leftrightarrow x=3*4-11\Leftrightarrow x=1 ή x=3k-11\Leftrightarrow x=3*5-11\Leftrightarrow x=4. Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άθροισμα πολλαπλάσιο του 3, όμως αν πάρουμε το χ ως 4, τότε ξεπερνάμε τον αριθμό 44000. Οπότε το χ παίρνει την τιμή 1.

y=0
x=1
Και ο αριθμός είναι 41250


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Αύγ 07, 2012 4:52 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5.: Έστω \displaystyle{f(n)=2^{n-1}-3^{n}+5}, όπου n\epsilon Z, (δηλαδή ο n, είναι ακέραιος)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος m, έτσι ώστε να είναι:

\displaystyle{f(m)+5f(m-2)=4f(m-1)+2f(m-3)}

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: (Για τους μικρούς μαθητές)

Έστω π.χ ότι \displaystyle{f(x) =5^{x}+3x^{2}}. Tότε, π.χ το \displaystyle{f(3y-4)}, θα το βρούμε αν βάλλουμε όπου x, το 3y-4.

Δηλαδή, \displaystyle{f(3y-4)=5^{3y-4}+3(3y-4)^{2}}

Επίσης, θυμηθείτε τις ιδιότητες των δυνάμεων και κυρίως:

\displaystyle{a^{m}.a^{n}=a^{m+n}} , και : \displaystyle{a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}}


freyia
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 15, 2011 9:44 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από freyia » Παρ Αύγ 10, 2012 4:01 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5.: Έστω \displaystyle{f(n)=2^{n-1}-3^{n}+5}, όπου n\epsilon Z, (δηλαδή ο n, είναι ακέραιος)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος m, έτσι ώστε να είναι:

\displaystyle{f(m)+5f(m-2)=4f(m-1)+2f(m-3)}


f(m)=2^{m-1}-3^{m}+5

f(m-2)=2^{m-2-1)-3^{m-2}+5

f(m-1)=2^{m-1-1}-3^{m-1}+5

f(m-3)=2^{m-3-1}-3^{m-3}+5

Άμα αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, τότε:

2^{m-1}-3^{m}+5+5[2^{m-3}-3^{m-2}+5]=4[2^{m-2}-3^{m-1}+5]+2[2^{m-4}-3^{m-3}+5]

Επομένως:

\displaystyle{\frac{2^m}{2}-3^m +5+5.\frac{2^m}{2^3}-5.\frac{3^m}{3^2}+25=4.\frac{2^m}{2^2}-4.\frac{3^m}{3}+20+2\frac{2^m}{2^4}-2.\frac{3^m}{3^3}+10}

Επομένως:

\displaystyle{\frac{2^m}{2}-3^m +5+5\frac{2^m}{8}-5\frac{3^m}{9}+25=4\frac{2^m}{4}-4\frac{3^m}{3}+20+2\frac{2^m}{16}-2\frac{3^m}{27}+10}

Επομένως:

\frac{2^m}{2}+5\frac{2^m}{8}-4\frac{2^m}{4}-2\frac{2^m}{16}=3^m +5\frac{3^m}{9}-4\frac{3^m}{3}-2\frac{3^m}{27}

Επομένως:

\displaystyle{2^{m}(\frac{1}{2}+\frac{5}{8}-1-\frac{1}{8})=3^{m}(1+\frac{5}{9}-\frac{4}{3}-\frac{2}{27})}

Επομένως:

\displaystyle{2^{m}.0=3^{m}(-\frac{26}{27})}. Επειδή η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη, σημαίνει ότι δεν υπάρχει ακέραιος m, ο οποίος θα επαληθεύει την εξίσωση της εκφώνησης.


gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από gauss1988 » Σάβ Αύγ 11, 2012 3:42 pm

AΚΗΣΗ 6. Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό, υπήρχαν δύο ισοδύναμα βαθμολογικά θέματα. Στο πρώτο θέμα, απάντησαν σωστά το 40 % των μαθητών , στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά το 25% , ενώ το 50% των μαθητών δεν απάντησε σωστά σε κανένα από τα δύο θέματα. Κάθε σωστή απάντηση παίρνει άριστα και κάθε λανθασμένη, παίρνει μηδέν.

Κάποιος ισχυρίζεται ότι όσοι μαθητές πήραν άριστα είναι τόσοι, όσοι απάντησαν μόνο στο πρώτο θέμα.

Είναι σωστός ο ισχυρισμός;


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Αύγ 13, 2012 10:52 am

AΣΚΗΣΗ 7. Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων των αριθμών:

(α) \displaystyle{132^{2002}}

(b) \displaystyle{7^{100} +656^{1000}}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Αύγ 13, 2012 12:46 pm

Από τη βόρεια Εύβοια στέλνω την παρακάτω άσκηση στην ωραία πρωτοβουλία του Γιώργου
-----------------------
Άσκηση 8

Αν \displaystyle{x=\dfrac{\overline{777\dots 75}}{\overline{777\dots 78}}} ,\displaystyle{~~ y=\dfrac{\overline{888 \dots 85}}{\overline{888\dots 89}}}

και οι όροι των κλασμάτων έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, να αποδείξετε ότι x>y


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 5952
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από matha » Δευ Αύγ 13, 2012 1:09 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Από τη βόρεια Εύβοια στέλνω την παρακάτω άσκηση στην ωραία πρωτοβουλία του Γιώργου
-----------------------
Άσκηση 8

Αν \displaystyle{x=\dfrac{\overline{777\dots 75}}{\overline{777\dots 78}}} ,\displaystyle{~~ y=\dfrac{\overline{888 \dots 85}}{\overline{888\dots 89}}}

και οι όροι των κλασμάτων έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, να αποδείξετε ότι x>y


Ας είναι

\displaystyle{a=\overline{77\cdots 75}} και \displaystyle{b=\overline{88\cdots 85}.}

Τότε,

\displaystyle{x=\frac{a}{a+3}} και \displaystyle{y=\frac{b}{b+4}.}

Επειδή \displaystyle{x,y>0,} αρκεί να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{1}{x}<\frac{1}{y},}

δηλαδή ότι

\displaystyle{3b<4a.}

Όμως, είναι

\displaystyle{3b=3\cdot 8\cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+15=24 \cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+15,}

και

\displaystyle{4a=4\cdot 7\cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+20=28 \cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+20.}


Μάγκος Θάνος
kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από kleovoulos » Δευ Αύγ 13, 2012 1:15 pm

Μόλις τώρα γύρισα από τις διακοπές. Θα ξεκουραστώ και αύριο θα στρωθώ στη δουλειά :clap2:


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Γιώργος Ρίζος » Δευ Αύγ 13, 2012 10:24 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Από τη βόρεια Εύβοια στέλνω την παρακάτω άσκηση στην ωραία πρωτοβουλία του Γιώργου


Μπάμπη καλησπέρα. Ας αποδώσουμε "τα του Καίσαρος τω Καίσαρι"

Η ιδέα ήταν του ΔΗΜΗΤΡΗ. Το λέω και παραπάνω.

Τώρα που είμαι, για πολύ λίγο..., στον υπολογιστή μου και έχω αξιοπρεπή σύνδεση,
προτείνω τρεις πρώτες ασκήσεις Γεωμετρίας από παλιούς διαγωνισμούς Ε.Μ.Ε.
Κάποιοι μαθητές μας σίγουρα θα τις ξέρουν, ας εξασκηθούν και οι νεώτεροι.

Η προαπαιτούμενη θεωρία είναι γνωστή (δίχως αποδείξεις) από το Δημοτικό.
Οι λέξεις "κλειδιά" για την αναζήτηση των εργαλείων για την επίλυση είναι:
Άθροισμα γωνιών τριγώνου, Κατακορυφήν, παραπληρωματικές, συμπληρωματικές γωνίες.

Οι γενικές τεχνικές είναι: Εκφράζουμε άγνωστες γωνίες συναρτήσει άλλων. Σημειώνουμε πάνω στο σχήμα τα γνωστά στοιχεία. Φέρνουμε παράλληλες αν και όταν χρειάζεται... Και πάνω απ' όλα εξασκούμε τη φαντασία μας!


Άσκηση 9

Στο σχήμα όπου η Ax είναι παράλληλη προς τη \Delta y να υπολογιστεί το άθροισμα των γωνιών \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta

13-8-2012 Διαγωνισμοί 1.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 1.jpg (4.29 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές


Θαλής 1998-1999 Β΄ Γυμνασίου


Άσκηση 10


Στο παρακάτω σχήμα υπολογίσετε το x σε μοίρες.

13-8-2012 Διαγωνισμοί 2.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 2.jpg (10.15 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές

Θαλής 2006-2007 Γ΄ Γυμνασίου

Άσκηση 11


11. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι
i. \varepsilon _1 //\varepsilon _2 //\varepsilon _3
ii. \Gamma \Delta  \bot \varepsilon _3
iii. {\rm A}{\rm E} = {\rm E}\Delta
iv. \widehat\omega  = 30^\circ ,\;\;\widehat\phi  = 50^\circ
Να βρεθούν οι γωνίες του τετραπλεύρου {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta
13-8-2012 Διαγωνισμοί 3.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 3.jpg (6.16 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές


Θαλής 1999-2000 Β΄ Γυμνασίου

edit:
Αντικατάστησα την εικόνα - κείμενο με κείμενο Latex.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Σεπ 01, 2012 9:33 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Γιώργος Ρίζος » Τρί Αύγ 14, 2012 9:21 am

Συνεχίζοντας, άλλες τρεις ασκήσεις στο "ίδιο πνεύμα". Καλό υπόλοιπο διακοπών! Ραντεβού τον Σεπτέμβριο.

Άσκηση 12

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται
(α) \varepsilon _1 //\varepsilon _2
(β) {\rm A}{\rm B}\Gamma ισοσκελές τρίγωνο \left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma } \right) με {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma  = 20^\circ
(γ) η {\rm B}\Delta είναι διχοτόμος της γωνίας {\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma
(δ) \Gamma {\rm Z} \bot {\rm A}\Gamma
Να βρείτε τις γωνίες \phi  = \Gamma \widehat\Delta {\rm E},\;\theta  = {\rm A}\widehat{\rm E}\Delta ,\;\omega
Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες {\rm B}{\rm E},\;\Gamma {\rm Z} δεν είναι παράλληλες
13-8-2012 Διαγωνισμοί 4.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 4.jpg (12.15 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές


Θαλής 2003-2004 Β΄ Γυμνασίου

Άσκηση 13

Στο διπλανό τραπέζιο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \;\left( {{\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta } \right) δίνεται ότι \Delta \widehat{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma  = \omega και ότι τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma ,\;{\rm A}\Gamma \Delta είναι ισοσκελή με {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma ,\;\;{\rm A}\Delta  = \Gamma \Delta
(i) Να αποδείξετε ότι η {\rm A}\Gamma διχοτομεί τη γωνία \Delta \widehat{\rm A}{\rm B}
(ii) Να υπολογίσετε τη γωνία \omega

13-8-2012 Διαγωνισμοί 5.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 5.jpg (7.97 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές


Θαλής 2006-2007 Β΄ Γυμνασίου

Άσκηση 14

Στο παρακάτω σχήμα είναι {\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma και η διχοτόμος \Gamma x της γωνίας {\rm A}\widehat\Gamma \Delta είναι παράλληλη στην {\rm A}{\rm B}. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma.

13-8-2012 Διαγωνισμοί 6.jpg
13-8-2012 Διαγωνισμοί 6.jpg (6.21 KiB) Προβλήθηκε 16605 φορές

Θαλής 2005-2006 Β΄ Γυμνασίου

edit: Αντικατάσταση κειμένου-εικόνας με κείμενο Latex
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Σεπ 01, 2012 9:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες