Ένα σύστημα!

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}xy+2x+y=7, \\yz+3y+2z=12,\\ zx+z+3x=15.\end{cases}}$

#2

Το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{\begin{cases}(x+1)(y+2)=9 \ \ (1), \\(y+2)(z+3)=18 \ \ (2),\\ (z+3)(x+1)=18 \ \ (3).\end{cases}}$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε τελικά ότι (x+1)(y+2)(z+3)=54

ή

Αν

τότε από την (1)

(διαιρώντας κατά μέλη) έχουμε z=3

, από τη

έχουμε

και από την (3)

έχουμε

. Έτσι παίρνουμε τη λύση (x,y,z)=(2,1,3)

.

Αν

τότε από την (1)

έχουμε

, από τη

έχουμε

και από την (3)

έχουμε

. Έτσι έχουμε τη λύση (x,y,z)=(-4,-5,-9)

.

Αλέξανδρος

PanosG · #3

matha έγραψε:Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}xy+2x+y=7, \\yz+3y+2z=12,\\ zx+z+3x=15.\end{cases}}$

Μια όχι και τόσο κομψή λύση σαν του Αλέξανδρου...
Αρχικά αν x=-1

τότε η πρώτη εξίσωση δίνει: $\displaystyle{-2=7}$ αδύνατο. Άρα $\displaystyle{x\neq -1}$
Λύνoντας την τελευταία ώς προς z έχουμε $\displaystyle{z=\frac{15-3x}{x+1}}$
Αντικαθιστούμε στην δεύτερη και έχουμε:
$\displaystyle{\frac{15y-3xy}{x+1}+3y+\frac{30-6x}{x+1}=12\Leftrightarrow 15y-3xy+3xy+3y+30-6x=12x+12\Leftrightarrow y=x+1}$
Αντικαθιστούμε την τελευταία στην πρώτη και καταλήγουμε στην:
$\displaystyle{x^2+2x-8=0}$
Η οποία έχει λύσεις $\displaystyle{x=2}$ ή $\displaystyle{x=-4}$ οπότε εύκολα βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{(x,y,z)=(2,1,3)}$ ή $\displaystyle{(x,y,z)=(-4,-5-9)}$

Ένα σύστημα!

Ένα σύστημα!

Re: Ένα σύστημα!

Re: Ένα σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση