Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Οκτ 07, 2012 9:46 am

Ο φίλος και συνάδελφος Χρήστος Τσιφάκης (xr.tsif), έχει ξεκινήσει (εδώ και αρκετό καιρό και εντελώς μόνος) την αποδελτίωση του δημοφιλέστατου post του φίλου και συναδέλφου Δημήτρη Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) (Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο)
Μπορείτε να δείτε ένα δείγμα εδώ.
Αυτή τη στιγμή αποδελτιώνει τις ασκήσεις 200-300 και λείπουν οι λύσεις στις παρακάτω ασκήσεις:

226. Δίνεται τρίγωνο ABC και σημείο P στο εσωτερικό του. Θεωρούμε D το σημείο τομής της CP με την AB( Συμβολικά D \equiv CP \cap AB και E \equiv BP \cap AC. Αποδείξτε μία ειδική περίπτωση (βασικότατη) του θεωρήματος Miquel :
Αν το τετράπλευρο ADPE είναι εγγράψιμο σε κύκλο τότε το άλλο σημείο τομής T των δύο κύκλων θα είναι σημείο της BC.
226.png
226.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 1989 φορές

Μπορείτε να διατυπώσετε το αντίστροφο τού παραπάνω προβλήματος και να το επιλύσετε;

231. Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί nγια τους οποίους οι αριθμοί {n^n} + 1και {(2n)^{2n}} + 1 είναι πρώτοι.

239. Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (a,b,c)τέτοιες ώστε [a,b,c] = a + b + c
όπου [a,b,c] το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a,b,c.

243. Αν οι θετικοί ακέραιοι x,y,z,t,a,b είναι τέτοιοι ώστε xt - yz = 1 και \frac{x}{y} > \frac{a}{b} > \frac{z}{t} να δείξετε ότι ab \ge (x + z)(y + t).

245. Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.

298. Σε μια μαθητική κατασκήνωση παρατηρήθηκε ότι:
α) Κάθε μαθητής γνώριζε έναν τουλάχιστον άλλο μαθητή. (Θεωρούμε ότι αν ο μαθητής A γνωρίζει τον B, τότε και ο B γνωρίζει τον A.)
β) Αν δύο μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών, τότε δεν έχουν κοινό γνωστό μαθητή.
Να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους μαθητές έχει μόνο ένα γνωστό.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2470
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από achilleas » Κυρ Οκτ 07, 2012 10:55 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:....
231. Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί nγια τους οποίους οι αριθμοί {n^n} + 1και {(2n)^{2n}} + 1 είναι πρώτοι.
...


Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής βοηθητικό πρόβλημα:

" Αν n\geq 1 και a\geq 2 είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο a^n+1 είναι πρώτος, τότε (ο a είναι άρτιος, και) n=2^r για κάποιο θετικό ακέραιο r."

(Σχόλιο: Η απόδειξη του βοηθητικού προβλήματος αφήνεται ως άσκηση. Αν δεν το λύσει κάποιος θα την αναρτήσω αργότερα).

Για n=1, είναι n^n+1=2 και (2n)^{2n}+1=5, άρα η λύση n=1 γίνεται δεκτή.

Βασιζόμενοι στο βοηθητικό πρόβλημα, βλέπουμε ότι αν n>1, τότε θα είναι n=2^r, (με r>0) και οι αριθμοί

n^n+1=2^{r2^r}+1 και (2n)^{2n}+1=2^{(r+1)2^{r+1}}+1 θα είναι πρώτοι.

Από το βοηθητικό πρόβλημα, ξανά θα είναι r2^r=2^k και (r+1)2^{r+1}=2^{\mu}, για κάποιους θετικούς ακέραιους k,\mu σαφώς με \mu>k.

Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

\dfrac{r+1}{r}=2^{\mu-k-1}, κι άρα r=1 που δίνει n=2.

Εύκολα ελέγχεται ότι το n=2 γίνεται δεκτό, αφού δίνει

n^n+1=5 και (2n)^{2n}+1=257,που είναι πρώτοι αριθμοί.

Συνεπώς, οι μόνες λύσεις είναι n=1 και n=2.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2470
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από achilleas » Κυρ Οκτ 07, 2012 2:12 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:....
239. Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (a,b,c)τέτοιες ώστε [a,b,c] = a + b + c
όπου [a,b,c] το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a,b,c.
..


Ας υποθέσουμε ότι c\geq b\geq a.

Προφανώς, c>a, αφού διαφορετικά θα ήταν c=b=a, και [a,b,c]=a<a+b+c.

Εξ ορισμού, είναι [a,b,c]=xa=yb=zc για κάποιους θετικούς ακέραιους x,y, z.

Από την υπόθεση, λοιπόν, είναι (z-1)c=a+b,

οπότε

0<z-1=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}<2,

κι άρα z-1=1, δηλ. z=2 και c=a+b.

Αν ήταν b=a, τότε c=2a και [a,b,c]=[a,a,2a]=2a<a+b+c, άτοπο. Συνεπώς, είναι b>a.

Αλλά, από yb=2(a+b) έπεται ότι 2a=(y-2)b, κι άρα το b, που είναι >a διαιρεί το 2a<2b.

Συνεπώς, θα είναι b=2a, κι άρα c=3a. Προφανώς, τότε ικανοποιείται η [a,b,c]=a+b+c.

Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι αν c\geq b\geq a και [a,b,c]=a+b+c, τότε c=3a και b=2a.

Θεωρώντας όλες τις μεταθέσεις των τριάδων αυτών, συμπερεαίνουνμε ότι οι ζητούμενες λύσεις

είναι (a,b,c)\sim (t,2t,3t) για κάποιο θετικό ακέραιο t.

Φιλικά,

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2470
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από achilleas » Κυρ Οκτ 07, 2012 11:06 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:....
243. Αν οι θετικοί ακέραιοι x,y,z,t,a,b είναι τέτοιοι ώστε xt - yz = 1 και \frac{x}{y} > \frac{a}{b} > \frac{z}{t} να δείξετε ότι ab \ge (x + z)(y + t).
....


Έχουμε

\begin{aligned}
\dfrac{1}{yt}&=\dfrac{x}{y}-\dfrac{z}{t}\\\notag
               &=\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{z}{t}\right)\\\notag
               &=\dfrac{bx-ay}{yb}+\dfrac{at-bz}{bt}\\\notag
              &\geq \dfrac{1}{yb}+\dfrac{1}{bt}\\\notag
              &=\dfrac{t+y}{byt}\\\notag
\end{aligned},

οπότε b\geq t+y (1).

Ομοίως, είναι

\begin{aligned}
\dfrac{1}{xz}&=\dfrac{t}{z}-\dfrac{y}{x}\\\notag
               &=\left(\dfrac{t}{z}-\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{a}-\dfrac{y}{x}\right)\\\notag
               &=\dfrac{ta-bz}{az}+\dfrac{bx-ay}{ax}\\\notag
              &\geq \dfrac{1}{az}+\dfrac{1}{ax}\\\notag
              &=\dfrac{x+z}{axz}\\\notag
\end{aligned},

οπότε a\geq x+z (2).

Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) κατά μέλη παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7264
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Demetres » Κυρ Οκτ 07, 2012 11:22 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
298. Σε μια μαθητική κατασκήνωση παρατηρήθηκε ότι:
α) Κάθε μαθητής γνώριζε έναν τουλάχιστον άλλο μαθητή. (Θεωρούμε ότι αν ο μαθητής A γνωρίζει τον B, τότε και ο B γνωρίζει τον A.)
β) Αν δύο μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών, τότε δεν έχουν κοινό γνωστό μαθητή.
Να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους μαθητές έχει μόνο ένα γνωστό.


Έστω A ο μαθητής με τον μέγιστο αριθμό γνωστών. Ας υποθέσουμε ότι έχει ακριβώς k γνωστούς, έστω τους B_1,\ldots,B_k. Οι B_1,\ldots,B_k έχουν κοινό γνωστό οπότε πρέπει ανά δύο να έχουν διαφορετικό αριθμό γνωστών. Όμως κάθε ένας από αυτούς έχει τουλάχιστον 1 και το πολύ k γνωστούς. Όμως έχουμε ακριβώς k άτομα άρα από την αρχή του περιστερώνα για κάθε 1 \leqslant i  \leqslant k ακριβώς ένας από τους B_j έχει ακριβώς i γνωστούς. Ιδιαίτερα, υπάρχει j ώστε ο B_j να έχει ακριβώς ένα γνωστό, όπως θέλαμε να δείξουμε.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από parmenides51 » Τετ Απρ 24, 2013 8:28 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:245. Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.


επαναφορά για την τοξοβολία

η συγκεκριμένη άσκηση (που έχει επαναπροταθεί εδώ κι εκεί στο :logo: ) αντιστέκεται δεόντως


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα-Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από chris » Πέμ Απρ 25, 2013 1:15 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:245. Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.


Ονομάζουμε x,y,z τον αριθμό των βελών που σαν σύνολο θα χτυπήσουν τις ζώνες A,B,\Gamma αντίστοιχα(όπου \Gamma η εκτός στόχου "ζώνη").
Προφανώς είναι x+y+z=30 \cdot 16 =480 και επιπλέον ισχύει y>240 και x=z με x_{max}=119.

Τώρα καλούμε x_k,y_k,z_k τον αριθμό των βελών που ένας τοξοβόλος k, \left(k\in \left\{1,2,3,...,30 \right\}=\Delta \right) θα ρίξει στις ζώνες A,B,\Gamma αντίστοιχα.Αφού κάθε τοξοβόλος ρίχνει 16 βέλη έχουμε x_k+y_k+z_k=16 : (*). Δεδομένου του ότι ο καθένας παίρνει 10 πόντους για τη ζώνη A ,5 για τη B και 0 για τη \Gamma , το συνολικό σκορ κάθε τοξοβόλου είναι \mathbb{S}(k)=10x_k+5y_k+0z_k=10x_k+5y_k\stackrel{(*)}=80+5(x_k-z_k).
Εξ αυτού συμπεραίνουμε ότι για να έχουν 2 συμμετέχοντες k,k' το ίδιο σκορ είναι:\displaystyle \mathbb{S}(k)=\mathbb{S}(k')\Rightarrow x_k-z_k=x_{k'}-z_{k'} .
Θα υποθέσουμε ότι κανένας τοξοβόλος δεν έχει ίδιο σκορ με κάποιον άλλο και συνεπώς \displaystyle \mathbb{S}(1)\neq \mathbb{S}(2)\neq ...\neq \mathbb{S}(30)\Rightarrow x_k-z_k \neq x_{k'}-z_{k'}, \forall k,k'\in \Delta , k\neq k'
Από περιστεροφωλιά υπάρχουν 15 ομόσημες παραστάσεις x_k-z_k έστω θετικές με διαφορετικό ακέραιο αποτέλεσμα και άρα το ελάχιστο άθροισμά τους είναι:
1+2+...+15=120 όμως x_k \geq x_k-z_k και άρα το ελάχιστο άθροισμα των 15 αυτών x_k είναι 120 τη στιγμή που x_{max}=119 και καταλήγουμε σε αντίφαση( υπόψη ότι \displaystyle \sum_{k=1}^{30}{x_k}=x<120). Συνεπώς 2 αθλητές θα έχουν σίγουρα ίδιο σκορ.


Στραγάλης Χρήστος
jim.jt
Δημοσιεύσεις: 225
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 09, 2013 7:56 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από jim.jt » Πέμ Απρ 25, 2013 7:39 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ο φίλος και συνάδελφος Χρήστος Τσιφάκης (xr.tsif), έχει ξεκινήσει (εδώ και αρκετό καιρό και εντελώς μόνος) την αποδελτίωση του δημοφιλέστατου post του φίλου και συναδέλφου Δημήτρη Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) (Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο)
Μπορείτε να δείτε ένα δείγμα εδώ.


Αυτή η προσπαθεια συνεχίζεται ακόμη, γιατί θα ήταν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο;


Τσιντσιλίδας Δημήτρης
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από xr.tsif » Παρ Απρ 26, 2013 11:40 am

Συνεχίζεται αλλά με πιο αργό ρυθμό.
Στην περιήγησή μου στο internet βρήκα το φυλλάδιο με τις πρώτες 100 ασκήσεις σε μία ιστοσελίδα, κάποιου συνάδελφου από την Εύβοια. Είχα μοιράσει το πρώτο 1 - 100 και δεύτερο 101 - 200 τεύχος επιλεκτικά σε μερικούς συναδέλφους και φίλους για τυχόν διορθώσεις.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1276
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Απρ 27, 2013 11:28 pm

Απάντηση στο πρόβλημα 226.
Δεν είμαι σίγουρος ότι δεν έχει απαντηθεί κάπου αλλού, επειδή είναι πολύ εύκολο.
Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BDP τέμνει την πλευρά BC στο σημείο T .
Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο TPEC είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
(Είναι η ισοδύναμη πρόταση της ζητούμενης).
Για να μην ξαναφτιάχνω νέο σχήμα βασίζομαι στο αρχικό.
Αν γωνία ADP = x , τότε ισχύουν τα εξής σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα (για το οποίο ισχύει και το αντίστροφό του)
"Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο σε κύκλο, κάθε εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική" έχουμε τα εξής:
γωνία BDP = 180 -x
γωνία PEC = x
γωνία PTC = 180 - x
Άρα, το τετράπλευρο EPTC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, άρα οι δύο κύκλοι για τους οποίους συζήτάμε διέρχονται από σημείο της πλευράς BC.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από kleovoulos » Τρί Απρ 30, 2013 2:51 pm

achilleas έγραψε:
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής βοηθητικό πρόβλημα:

" Αν n\geq 1 και a\geq 2 είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο a^n+1 είναι πρώτος, τότε (ο a είναι άρτιος, και) n=2^r για κάποιο θετικό ακέραιο r."


Το ότι o \displaystyle \rm {a} είναι άρτιος είναι προφανές, αφού κάθε πρώτος αριθμός είναι η δύναμη ενός πολλαπλάσιου του δύο αυξημένη κατά την μονάδα. Δηλαδή εάν \displaystyle \rm {p} είναι πρώτος, τότε ισχύει ότι \displaystyle \rm {p=(2k)^j+1} όπου \displaystyle \rm {j,k\in \mathbb{Z}}. Αυτό που μένει προς απόδειξη είναι το ότι \displaystyle \rm {j=2^m}. Είναι επίσης προφανές αφού εάν είχαμε έναν περιττό αριθμό π.χ. \displaystyle \rm {j=3} τότε θα είχαμε \displaystyle \rm {p=9} (για \displaystyle \rm {k=1}, ή για άλλη τιμή του \displaystyle \rm {k} κάποιον άλλο σύνθετο αριθμό) που δεν είναι πρώτος. Άρα θέλουμε να ισχύει ότι \displaystyle \rm {p=(2k)^j+1} όπου \displaystyle \rm {j,k\in \mathbb{Z}} και ο \displaystyle \rm {j} είναι άρτιος, δηλαδή παίρνει τη μορφή \displaystyle \rm {2m}.

*Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος, μιας και την σκεφτόμουν καθώς την έγραφα τη λύση.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από xr.tsif » Τετ Μάιος 01, 2013 10:44 pm

ΑΣΚΗΣΗ 331:
Δείξτε ότι δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα της μορφής \overline{a00 . . . 0b}, όπου a, b \in \{1, 2, 3, . . . , 9\}.

AΣΚΗΣΗ 368
Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου κουτιού με όγκο V>1000 και με μήκη πλευρών ακέραιοι αριθμοί.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Μάιος 03, 2013 10:49 pm

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 331:
Δείξτε ότι δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα της μορφής \overline{a00 . . . 0b}, όπου a, b \in \{1, 2, 3, . . . , 9\}.


Αν υποθέσουμε ότι ο δοσμένος αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, τότε με δεδομένο ότι \displaystyle{b\neq 0},

θα πρέπει να λήγει σε \displaystyle{1} , ή \displaystyle{4}, ή \displaystyle{5} , ή \displaystyle{6} , ή \displaystyle{9}. Δηλαδή \displaystyle{b\in \{1,4,5,6,9\}}.

Aς υποθέσουμε λοιπόν, ότι υπάρχει \displaystyle{k\in N}, ώστε να είναι \displaystyle{a00...0b =k^2 
\Rightarrow a.10^{n}+b=k^2}, (1) , όπου

από την υπόθεση προκύπτει ότι \displaystyle{n\geq 2}.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: \displaystyle{b\in \{1,4,9\}}.

Τότε \displaystyle{b=c^2 }, όπου \displaystyle{c\in \{1,2,3\}}. Oπότε η (1) γράφεται: \displaystyle{a.10^n =(k-c)(k+c)}. Άρα θα υπάρχουν φυσικοί αριθμοί \displaystyle{x,y,m,r}, ώστε να

είναι \displaystyle{k-c=x.10^m} και \displaystyle{k+c=y.10^r } , όπου \displaystyle{xy=a} και \displaystyle{m+r=n}, με

\displaystyle{x,y\in \{1,2, ... ,9\}}. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι \displaystyle{2c=y.10^{r}-x.10^{m}} , (2)

*** Aν \displaystyle{m<r} , τότε \displaystyle{2c=10^{m}(y.10^{r-m}-x)} , από την οποία για \displaystyle{m\neq 0}, συνεπάγεται ότι \displaystyle{10|2c}, που είναι άτοπο, αφού \displaystyle{c\in \{1,2,3\}}. (Eπίσης αν \displaystyle{m=0}, τότε έχουμε \displaystyle{2c=y.10^{r}-x=y.10^{n}-x\geq 1.10^2 -x}

\displaystyle{\Rightarrow 2c+x\geq 100}, που και πάλι είναι άτοπο, αφού \displaystyle{c\in \{1,2,3\}} και \displaystyle{x\in \{1,2,...,9\}})

*** Aν \displaystyle{m>r}, με όμοιο τρόπο δείχνουμε το άτοπο.

*** Αν \displaystyle{m=r}, τότε η σχέση (2) γράφεται: \displaystyle{2c=10^{m}(y-x)}. Όμως \displaystyle{m+r=n\geq 2\Rightarrow 2m\geq 2\Rightarrow}

\displaystyle{m\geq 1}, οπότε θα πρέπει \displaystyle{10|2c}, που είναι άτοπο.

Αποκλείεται λοιπόν ο \displaystyle{b} να ανήκει στο σύνολο \displaystyle{\{1,4,9\}}.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: \displaystyle{b=5}

Tότε η σχέση (1) γράφεται: \displaystyle{a.10^{n}=k^2 -5}. Από εδώ προκύπτει ότι ο \displaystyle{k}, πρέπει να λήγει σε \displaystyle{5}.

Δηλαδή \displaystyle{k=10z+5}. Άρα: \displaystyle{a.10^{n}=(10z+5)^2 -5=100z^2 +100z+20}. Αφού δε είναι \displaystyle{n\geq 2}, θα πρέπει
\displaystyle{100|20}, που είναι άτοπο.

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: \displaystyle{b=6}

Τότε η (1) γράφεται: \displaystyle{a.10^{n}=k^2 -6}. Από εδώ προκύπτει ότι ο \displaystyle{k} , πρέπει να λήγει σε \displaystyle{4}, ή \displaystyle{6}

Δηλαδή \displaystyle{k=10z+4}, ή : \displaystyle{k=10z+6}. Τότε : \displaystyle{a.10^{n}=100z^2 +80z+10}, ή \displaystyle{a.10^{n}=100z^2 +120z+30.} Kαι

πάλι αφού \displaystyle{n\geq 2}, θα πρέπει : \displaystyle{100|10}, ή \displaystyle{100|30}, που όμως είναι άτοπο.

Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι δεν είναι δυνατόν, ο δοσμένος αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από xr.tsif » Τρί Μάιος 28, 2013 11:54 pm

επαναφορά για το 368


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Μάιος 29, 2013 10:58 pm

xr.tsif έγραψε:επαναφορά για το 368


Χρήστο, γειά σου. Έκανα μια λύση για το θέμα, όμως με αρκετές περιπτώσεις, οπότε θα περιμένουμε μήπως δώσει κάποιο μέλος μας κάποια ωραία λύση. Διαφορετικά θα γράψω προσεχώς την δική μου άσχημη μεν, αλλά σωστή (νομίζω).


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 708
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από sokratis lyras » Πέμ Μάιος 30, 2013 4:03 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
xr.tsif έγραψε:επαναφορά για το 368


Χρήστο, γειά σου. Έκανα μια λύση για το θέμα, όμως με αρκετές περιπτώσεις, οπότε θα περιμένουμε μήπως δώσει κάποιο μέλος μας κάποια ωραία λύση. Διαφορετικά θα γράψω προσεχώς την δική μου άσχημη μεν, αλλά σωστή (νομίζω).


Εγώ την είχα προτείνει κ.Δημήτρη, και η λύση που είχα βρει είχε όντως πολλέές περιπτώσεις.
Και να μην την δουμε,δεν έγινε και τίποτα.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από socrates » Σάβ Ιουν 01, 2013 1:49 am

xr.tsif έγραψε:AΣΚΗΣΗ 368
Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου κουτιού με όγκο V>1000 και με μήκη πλευρών ακέραιοι αριθμοί.



Ένα παρόμοιο πρόβλημα με το παραπάνω είναι το εξής (έχει σύντομη λύση):

AΣΚΗΣΗ 368(β)
Έστω a, b, c, d, e, f, g, h, k διαφορετικά ανά δύο μη μηδενικά ψηφία. Βρείτε το ελάχιστο του E = a  b  c + d  e  f + g  h  k.¸


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από socrates » Σάβ Ιουν 01, 2013 1:54 am

parmenides51 έγραψε:
Μιχάλης Νάννος έγραψε:245. Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.


επαναφορά για την τοξοβολία

η συγκεκριμένη άσκηση (που έχει επαναπροταθεί εδώ κι εκεί στο :logo: ) αντιστέκεται δεόντως



Για την ιστορία, είναι από εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... d#p1967527


Θανάσης Κοντογεώργης
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από xr.tsif » Τετ Ιουν 12, 2013 8:10 am

sokratis lyras έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
xr.tsif έγραψε:επαναφορά για το 368


Χρήστο, γειά σου. Έκανα μια λύση για το θέμα, όμως με αρκετές περιπτώσεις, οπότε θα περιμένουμε μήπως δώσει κάποιο μέλος μας κάποια ωραία λύση. Διαφορετικά θα γράψω προσεχώς την δική μου άσχημη μεν, αλλά σωστή (νομίζω).


Εγώ την είχα προτείνει κ.Δημήτρη, και η λύση που είχα βρει είχε όντως πολλέές περιπτώσεις.
Και να μην την δουμε,δεν έγινε και τίποτα.


Δημήτρη επαναφορά για να ετοιμάσω το φυλλάδιο


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί (Γυμνάσιο) - Αποδελτίωση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από socrates » Τετ Ιουν 12, 2013 5:27 pm

socrates έγραψε:
xr.tsif έγραψε:AΣΚΗΣΗ 368
Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου κουτιού με όγκο V>1000 και με μήκη πλευρών ακέραιοι αριθμοί.



Ένα παρόμοιο πρόβλημα με το παραπάνω είναι το εξής (έχει σύντομη λύση):

AΣΚΗΣΗ 368(β)
Έστω a, b, c, d, e, f, g, h, k διαφορετικά ανά δύο μη μηδενικά ψηφία. Βρείτε το ελάχιστο του E = a  b  c + d  e  f + g  h  k.¸



Λύση:

Είναι

\displaystyle{E = a  b  c + d  e  f + g  h  k \geq 3} \displaystyle{ \sqrt[3]{a b c d e f g h k}=} \displaystyle{3\sqrt[3]{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}>213,}

οπότε, αφού E\in \Bbb{Z}, είναι E\geq 214.

Η τιμή αυτή πιάνεται π.χ. για \displaystyle{a=1 , \ b=8 , \ c=9 , \ d=3 , \ e=4 , \ f=6 , \ g=2 , \ h=5 , \ k=7.}


Θανάσης Κοντογεώργης

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης