Παλιό και άλυτο

#1

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι a , b , c

,ώστε

, όπου το

δηλώνει το '' διαιρεί ''.

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8#p1091898

#2

Από την υπόθεση, υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{k,\ell ,m}$ τέτοιοι, ώστε:

$\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {b + c = k\left( {a + 1} \right)}\\ {c + a = \ell \left( {b + 1} \right)}\\ {a + b = m\left( {c + 1} \right)} \end{array}}$ .

Με πρόσθεση των παραπάνω σχέσεων κατά μέλη έχουμε ότι:

$\displaystyle{2\left( {a + b + c} \right) = ka + \ell b + mc + k + \ell + m}$ $\bf\color{red} \left(1 \right)$ .

Από τη σχέση $\bf\color{red} \left(1 \right)$ προκύπτει ότι ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{k,\ell ,m}$ είναι ίσος με $\displaystyle{1}$ . Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{k = 1}$ , οπότε

$\displaystyle{a = b + c - 1}$

και η σχέση $\bf\color{red} \left(1 \right)$ γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{2\left( {2b + 2c - 1} \right) = b + c - 1 + \ell b + mc + 1 + \ell + m \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 3b + 3c = \ell b + mc + \ell + m + 2}$ $\bf\color{red} \left(2 \right)$ .

Από τη σχέση $\bf\color{red} \left(2 \right)$ προκύπτει ότι ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{\ell ,m}$ είναι μικρότερος του $\displaystyle{3}$ . Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι αυτός είναι ο $\displaystyle{\ell }$ . Έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{\ell = 1}$ , τότε $\displaystyle{c + a = b + 1}$ , η οποία σε συνδυασμό με την $\displaystyle{b + c = a + 1}$ δίνει ότι $\displaystyle{c = 1}$ , οπότε από τη σχέση $\bf\color{red} \left(2 \right)$ προκύπτει ότι $\displaystyle{b = m}$ και άρα $\displaystyle{a = m}$ . Έτσι, βρήκαμε τη λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {a,b,c} \right) = \left( {m,m,1} \right)}}$ , όπου $\displaystyle{m}$ τυχαίος θετικός ακέραιος.

$\bullet$ Αν $\displaystyle{\ell = 2}$ , τότε $\displaystyle{c + a = 2b + 2}$ , η οποία σε συνδυασμό με την $\displaystyle{b + c = a + 1}$ δίνει ότι $\displaystyle{b = 2c - 3}$ . Με αντικατάσταση στη σχέση $\bf\color{red} \left(2 \right)$ , βρίσκουμε (μετά από απλές πράξεις) ότι

$\displaystyle{\left( {5 - m} \right)c = m + 7}$ $\bf\color{red} \left(3 \right)$ .

Από τη σχέση $\bf\color{red} \left(3 \right)$ προκύπτει ότι $\displaystyle{m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}}$ .

Για $\displaystyle{m = 1}$ , βρίσκουμε τη λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {a,b,c} \right) = \left( {2,1,2} \right)}}$ .
Για $\displaystyle{m = 2}$ , βρίσκουμε τη λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {a,b,c} \right) = \left( {5,3,3} \right)}}$ .
Για $\displaystyle{m = 3}$ , βρίσκουμε τη λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {a,b,c} \right) = \left( {11,7,5} \right)}}$ .
Για $\displaystyle{m = 4}$ , βρίσκουμε τη λύση $\displaystyle{\boxed{\left( {a,b,c} \right) = \left( {29,19,11} \right)}}$ .

Ώστε, οι ζητούμενες λύσεις είναι όλες οι παραπάνω, καθώς και οι κυκλικές μεταθέσεις αυτών.

#3

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a=\max\{a,b,c\}$ . Τότε

$1\leq \dfrac{b+c}{a+1}\leq \dfrac{2a}{a+1}=2-\dfrac{2}{a+1}<2$ ,

κι άρα θα είναι a+1=b+c

(1).

Έπειτα αν $\dfrac{a+c}{b+1}\geq 3$ και $\dfrac{a+b}{c+1}\geq 3$ , θα είναι

$(a+b)+(a+c)\geq 3b+3c+6\iff 2a\geq 2(b+c+3)\iff a\geq b+c+3=a+4$ , άτοπο.

Ας υποθέσουμε ότι $\dfrac{a+c}{b+1}\leq 2$ .

Αν $\dfrac{a+c}{b+1}=2$ , τότε a-2b=2-c

, κι αφού

, από (1), λύνοντας το σύστημα παίρνουμε a=3c-4

(2) και

(3).

Οπότε $\dfrac{a+b}{c+1}=\dfrac{5c-7}{c+1}=5-\dfrac{12}{c+1}\in \mathbb{N}^*$ ,

που δίνει τις αποδεκτές τιμές c=2,3,5,11

και τις αντίστοιχες τιμές για τα

a=2,5,11,29

και

από τις παραπάνω σχέσεις (2) και (3).

Αν $\dfrac{a+c}{b+1}=1$ , τότε a+c=b+1

, κι άρα

που δίνει

και

.

Οι λύσεις λοιπόν είναι $(a,b,c)\sim (k,k,1), (2,1,2),(5,3,3),(11,7,5), (29,19,11)$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παλιό και άλυτο

Παλιό και άλυτο

Re: Παλιό και άλυτο

Re: Παλιό και άλυτο

Μέλη σε σύνδεση