Δύο τουλάχιστον πρώτοι

#1

Έστω

ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός x^5 + x + 1

διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.

Αρχιμήδης 6 · #2

=

Άρα είναι σύνθετος αριθμός και αφού λύνοντας την εξίσωση x^3-x^2+1=x^2+x+1

δεν έχει ακέραιες λύσεις για x>1

είναι και διαφορετικοί πάντα. Άρα στο γινόμενο θα υπάρχουν και 2 τουλάχιστον διαφορετικοί πρώτοι που θα διαιρούν οπότε και τον x^5+x+1

.
(Y.Γ : Τους παράγοντες του x^5+x+1

τους βρήκα με μερικά παραδείγματα. )
Φιλικά,
Δημήτρης

#3

socrates έγραψε:Έστω ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.

Άμεσο από $\displaystyle{ x^5 + x + 1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)}$ .

Αρχιμήδης 6 · #4

Να προσθέσω μια παρατήρηση στην άσκηση.
Αν τα πολυώνυμα
x^2+x+1

,

είχαν μια κοινή ρίζα πρώτου αριθμού δεν θα υπήρχαν 2 διαφορετικοί πρώτοι διαιρέτες του x^5+x+1

αλλά μόνον ένας γιαυτό και η επίλυση της εξίσωσης x^2+x+1=(x^3-x^2+1)^n

είναι αναγκαία . ( Εδώ προφανώς αρκεί να λυθεί η x^2+x+1=x^3-x^2+1=p

για κάποιον πρώτο

. )
Φιλικά,
Δημήτρης

#5

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Να προσθέσω μια παρατήρηση στην άσκηση.
Αν τα πολυώνυμα
,
είχαν μια κοινή ρίζα πρώτου αριθμού δεν θα υπήρχαν 2 διαφορετικοί πρώτοι διαιρέτες του αλλά μόνον ένας γιαυτό και η επίλυση της εξίσωσης είναι αναγκαία . ( Εδώ προφανώς αρκεί να λυθεί η για κάποιον πρώτο . )
Φιλικά,
Δημήτρης

... και η $x^2+x+1=p^m, \ x^3-x^2+1=p^n$

Αρχιμήδης 6 · #6

Για να υπάρχει μια λύση ολοκληρωμένη μετά την εύστοχη παρέμβαση του Θανάση ..
x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)

Αν

η εξίσωση δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις για x>1

.
Έστω ότι x^2+x+1=p^k

,

Για

o ισχυρισμός ισχύει 2^5+2+1=5*7

Για

Έχουμε ότι x^2+x+1<x^3-x^2+1

άρα

Με λίγες πράξεις θα διαπιστώσεις ότι (x^2+x+1,x^3-x^2+1)=1,7

Άρα η μόνη επίφοβη περίπτωση που μένει είναι αν $x^2+x+1=7^{k-l}(x^3-x^2+1)$
Αφού k>l

αρκεί να λύσεις τις εξισώσεις..
1) x^2+x+1=x^3-x^2+1

που δεν έχει λύσεις όπως είπαμε παραπάνω για x>1

.
2)

που δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις αφού x^2+x+1<x^3-x^2+1

άρα ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.
Φιλικά,
Δημήτρης

Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Re: Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Re: Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Re: Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Re: Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Re: Δύο τουλάχιστον πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση