Ανισότητα

Garfield · #2

Κάνοντας πράξεις το δεύτερο μέλος της προς απόδειξη ανισότητας γράφεται:

$\displaystyle{(2a+b+c)\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{2a}{b}+ \frac{2b}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) + \left( \frac{2c}{a} + \frac{2a}{c} \right) + 6 }$

Θέτοντας $\displaystyle{ x=\frac{a}{b} , \quad y=\frac{b}{c} , \quad z=\frac{c}{a} }$ τότε xyz=1

και η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{ (x+y+z+1)^{2} \geq 2\left(x+\frac{1}{x} \right)+\left(y+\frac{1}{y} \right)+2\left(z+\frac{1}{z} \right) + 6 \quad(\bigstar)}$

Επειδή xyz=1

παίρνουμε ότι $\displaystyle{ x+\frac{1}{x}= x+ \frac{xyz}{x}= x+yz }$ . Άρα εφαρμοζοντάς το κυκλικά η $(\bigstar)$ γράφεται:

$\displaystyle{ (x+y+z+1)^{2} \geq 2(x+yz) + (y+xz) + 2(z+xy) + 6}$ . Όμως $\displaystyle{ (x+y+z+1)^{2}= x^{2}+y^{2}+z^{2}+1+2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z}$ και κάνοντας λίγο πράξεις η τελευταία ανισότητα γράφεται ισοδύναμα στη μορφή:

$\displaystyle{\boxed{ x^{2} + y^{2} +z^{2} +xz +y \geq 5} \quad (\spadesuit)}$

Όμως από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου η $(\spadesuit)$ ισχύει καθώς: $\displaystyle{ x^{2} + y^{2} +z^{2} +xz +y \geq 5 \sqrt[5]{x^{3}y^{3}z^{3}}=5$ .

Επομένως και η αρχικη.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση