Τέλειο τετράγωνο

#1

Έστω

και

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός m^2 + n^2 − m

να διαιρείται από τον 2mn.

Δείξτε ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

#2

socrates έγραψε:Έστω και θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να διαιρείται από τον
Δείξτε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε πρώτος διαιρέτης του

, στην ανάλυσή του

σε πρώτους παράγοντες, εμφανίζεται σε άρτια δύναμη.

(Εις άτοπο απαγωγή) Έστω

πρώτος διαιρέτης του

και περιττός φυσικός

ώστε

(δηλ. ο

διαιρεί τον

, αλλά ο $p^{k+1}$ όχι)

Αφού ο

διαιρεί τον n^2

, ο

διαιρεί τον n^2

, κι αφού

περιττός, ο $p^{\frac{k+1}{2}}$ διαιρεί τον

.

Συνεπώς, ο $p^{k+1}$ , ως διαιρέτης του

και του

, θα πρέπει να διαιρεί και το

, άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αρχιμήδης 6 · #3

socrates έγραψε:Έστω και θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να διαιρείται από τον
Δείξτε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Πολύ ωραία και σύντομη λύση από τον achilleas αλλά καλό είναι να φανεί και η παρακάτω:

m^2+n^2-m=2mnx

και έστω

οπότε

,

θετικός ακέραιος , a,b

θετικοί ακέραιοι.

Οπότε με αντικατάσταση των m,n

στην αρχική εξίσωση θα γίνει... d^2a^2+d^2b^2-da=2d^2abx

Από την τελευταία είναι εμφανές ότι d|a

καθώς και ότι a|db^2

και αφού

τότε

συνεπώς

και δεδομένου ότι m=da

προκύπτει ότι m=d^2