Ερωτήματα που προέρχονται από έναν πίνακα

[Ανδρέας Πούλος]

Δίνεται ο συνημμένος πίνακας αριθμών. Ζητάμε να απαντηθούν οι ακόλουθες 5 ερωτήσεις.
Προφανώς, είναι ευπρόσδεκτα και νέα ερωτήματα.
Τέτοιου είδους δραστηριότητες, επειδή περιέχουν από πολύ απλά έως πολύ δύσκολα (ως προς την απάντησή τους) ερωτήματα,
θεωρούμε ότι είναι κατάλληλες για μαθήματα σε μαθηματικούς ομίλους στους οποίους συμμετέχει ένας αριθμός μαθητών
με διαφορετικές δυνατότητες, γνώσεις, εμπειρία και τεχνική κατάρτιση στην επίλυση προβλημάτων.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Τα ερωτήματα:
1. Πόσους αριθμούς έχει η 100η γραμμή;
2. Ο αριθμός 100 σε ποια γραμμή ανήκει;
3. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός γραμμής στην οποία το ψηφίο 0 εμφανίζεται ακριβώς 10 φορές;
4. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός γραμμής στην οποία το άθροισμα των αριθμών της είναι μεταξύ 1500 και 1600;
5. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός γραμμής στην οποία συναντάμε μόνο τετραψήφιους αριθμούς;

[Ανδρέας Πούλος]

Το θέμα αυτό το κουβεντιάσαμε εχτές το απόγευμα στον Όμιλο Μαθηματικών του Σχολείου μου (μαθήματα από 1η Οκτωβρίου 2012, κάθε Δευτέρα 18:00 - 20:00).
Οι μαθητές της Α τάξης του Γυμνασίου έκαναν τις εξής παρατηρήσεις οι οποίες βοηθούν στην απάντηση αρκετών ερωτημάτων.
1. Οι τελευταίοι αριθμοί κάθε γραμμής είναι τρίγωνοι αριθμοί (γνωρίζουν την έννοια αυτή και ότι οι τρίγωνοι παράγονται από τον τύπο ).
2. Αρχικά παρατήρησαν ότι οι πρώτοι αριθμοί σε κάθε γραμμή προέρχονται από την πρόσθεση του αριθμού της αμέσως προηγούμενης γραμμής
με τον αριθμό της προηγούμενης γραμμής, π.χ. 11 = 7 + 4.
3.Οι τελευταίοι αριθμοί σε κάθε γραμμή προέρχονται από την πρόσθεση του αριθμού της γραμμής τους με τον τελευταίο αριθμό της αμέσως προηγούμενης γραμμής. Π.χ. 15 = 10 + 5.
4. Οι αριθμοί σε οποιαδήποτε γραμμή εκτός του τελευταίου προέρχονται από την πρόσθεση του αριθμού της αμέσως προηγούμενης γραμμής
με τον αριθμό της προηγούμενης γραμμής, πχ. 19 = 14 + 5.
Οι προηγούμενες παρατηρήσεις βοηθούν να βρούμε π.χ. τους πρώτους αριθμούς (με την έννοια της διάταξης) π.χ. των 15 πρώτων γραμμών οι οποί είναι οι:
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106.

Σημειώνουμε ότι οι μαθητές των δύο τελευταίων τάξεων του Δημοτικού σε όλη την Πρωτοβάθμια εκπαίδευση μπορεί να μην είναι καθόλου εξοικειωμένοι με προβλήματα Πρακτικής Αριθμητικής, αλλά έχουν μία ικανοποιητική εξοικείωση με την έννοια του "μοτίβου" - (pattern όπως λέμε στην μητρική μας γλώσσα).
Αυτό το δεύτερο είναι κάτι το πολύ θετικό, το οποίο πρέπει να τονιστεί και να αξιοποιηθεί παιδαγωγικά.
Οι μαθητές της προηγούμενης δεκαετίας δεν είχαν κάποια ιδέα για την έννοια του μοτίβου, η οποία από μόνη της εμπεριέχει την έννοια των "κατασκευαστικών Μαθηματικών".

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος