ΣΥΣΤΗΜΑ 3

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ {x^{2013}} + {y^{2013}} = {x^{2014}} + {y^{2014}}\\ x,y \in R \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ {x^{2013}} + {y^{2013}} = {x^{2014}} + {y^{2014}}\\ x,y \in R \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

Καλημέρα Νίκο.
Έχω: $x+y=2 \Rightarrow y-1=1-x (1).$ (θα χρειαστεί!)

Επιπλέον:

$\displaystyle{{x^{2013}} + {y^{2013}} = {x^{2014}} + {y^{2014}} \Rightarrow {x^{2013}}(1 - x) = {y^{2013}}(y - 1)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {x^{2013}}(1 - x) = {y^{2013}}(1 - x)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow {x^{2013}}(1 - x) - {y^{2013}}(1 - x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \vee {x^{2013}} - {y^{2013}} = 0}$ $\displaystyle{x = 1 \vee {x^{2013}} = {y^{2013}} \Rightarrow x = 1 \vee x = y}$

Αν x=1

τότε και

(δεκτή λύση αφού φανερά επαληθεύει) ενώ αν x=y

τότε και πάλι x=y=1.

(*) Είναι $\displaystyle{{x^{2013}} = {y^{2013}} \Rightarrow x = y}$ αφού έχουμε περιττό εκθέτη.

ΣΥΣΤΗΜΑ 3

ΣΥΣΤΗΜΑ 3

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 3

Μέλη σε σύνδεση