ΣΥΣΤΗΜΑ 10

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1\\ \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} = 2\\ \left( {x,y,z \ge 0} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

hsiodos · #2

$\displaystyle{ \sqrt {x + yz} = \sqrt {x(x + y + z) + yz} = \sqrt {x(x + y) + xz + yz} = \sqrt {(x + y)(x + z)} \le \frac{{x + y + x + z}}{2}}$ και ομοίως $\displaystyle{ \sqrt {y + zx} \le \frac{{z + y + y + x}}{2}\,\,\,\,,\,\,\,\,\sqrt {z + xy} \le \frac{{z + x + z + y}}{2}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη

$\displaystyle{ 2 = \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} \le \frac{{x + y + x + z}}{2} + \frac{{z + y + y + x}}{2} + \frac{{z + x + z + y}}{2} = 2}$

Επομένως $\displaystyle{ x + y = x + z = z + y \Rightarrow x = y = z = \frac{1}{3}}$

Γιώργος

kostas_zervos · #3

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1\\ \sqrt {x + yz} + \sqrt {y + zx} + \sqrt {z + xy} = 2\\ \left( {x,y,z \ge 0} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

Είναι $\left(x+yz+y+zx+z+xy\right)(1+1+1)\geq \left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+yx}\right)^2\iff$

$\iff 3\left(1+yz+zx+xy\right)\geq 4\iff yz+zx+xy\geq \dfrac{1}{3}$

με την ισότητα να ισχύει όταν x+yz=y+zx=z+xy

Επίσης $(x+y+x)^2\geq 3(yz+zx+xy) \iff yz+zx+xy\leq\dfrac{1}{3}$ με την ισότητα να ισχύει όταν x=y=z

.

Άρα $yz+zx+xy=\dfrac{1}{3}$ και για να ισχύουν όλες οι ισότητες πρέπει $x=y=z=\dfrac{1}{3}$ , επομένως η λύση είναι η $(x,y,z)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)$ (που επαληθεύει)

ΣΥΣΤΗΜΑ 10

ΣΥΣΤΗΜΑ 10

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 10

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 10

Μέλη σε σύνδεση