Ανισότητα

#1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $abc\geq 1.$ Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{a^4-1}{ab^3+abc+ac^3}+\frac{b^4-1}{bc^3+abc+ba^3}+\frac{c^4-1}{ca^3+abc+cb^3}\geq 0.}$

#2

Η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\sum \frac{a^3}{b^3+bc+c^3}\geq \sum \frac{1}{a(b^3+bc+c^3)}.}$

Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\displaystyle{a\geq b\geq c.}$

Τότε,

$\displaystyle{\frac{1}{b^3+bc+c^3}\geq \frac{1}{c^3+ca+a^3}\geq \frac{1}{a^3+ab+b^3}}$ και

$\displaystyle{\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}.}$

Από την ανισότητα Chebyshev έχουμε

$\displaystyle{\sum \frac{a^3}{b^3+bc+c^3}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}\sum \frac{1}{b^3+bc+c^3}}$

και

$\displaystyle{\sum \frac{1}{a(b^3+bc+c^3)}\leq \frac{1}{3}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\sum \frac{1}{b^3+bc+c^3}.}$

Πλέον αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.}$

Πράγματι, είναι

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3\geq \frac{a+b+c}{3}(a^2+b^2+c^2)}$

και

$\displaystyle{\frac{a+b+c}{3}\geq 1}$ (AM-GM και $\displaystyle{abc\geq 1}$ ),

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c},}$ αφού $\displaystyle{abc\geq 1.}$

chris · #3

socrates έγραψε:Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $abc\geq 1.$ Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{a^4-1}{ab^3+abc+ac^3}+\frac{b^4-1}{bc^3+abc+ba^3}+\frac{c^4-1}{ca^3+abc+cb^3}\geq 0.}$

Εναλλακτικά έχουμε:
$\displaystyle LHS=\sum{\left(\frac{a^4+ab^3+abc+ac^3-1}{ab^3+abc+ac^3}-1 \right)}\stackrel{{\color{red} (1)}}\geq \sum{\left(\frac{a^4+ab^3+1+ac^3-1}{ab^3+abc+ac^3}-1 \right)}=\sum{\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+bc+c^3}-1 \right)}\stackrel{{\color{red} (2)}} \geq \sum{\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+\frac{b^3+c^3+1}{3}+c^3}-1 \right)}=3\left(a^3+b^3+c^3 \right)\sum{\frac{1}{4b^3+4c^3+1}-3} \stackrel{{\color{red} (3)}}\geq 3\left(a^3+b^3+c^3 \right)\cdot \frac{9}{8\left(a^3+b^3+c^3 \right)+3}-3 \geq 0$

Στα ανισοτικά βήματα χρησιμοποιήθηκαν διαδοχικά:
${\color{red} (1)}:$ H δοθείσα ανισότητα
${\color{red} (2)}:$ H AM-GM
${\color{red} (3)}:$ H B.C.S
H τελευταία είναι προφανής καθώς είναι ισοδύναμη με την: $a^3+b^3+c^3\geq 3$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση