Ανισότητα

#1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{a^2\cdot \frac{a-b}{a+b}+b^2\cdot \frac{b-c}{b+c}+c^2\cdot \frac{c-a}{c+a}\geq 0 .}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

Είναι

$\displaystyle{a^2\frac{a-b}{a+b}=a^2-\frac{2a^2b}{a+b}}$ κτλ., οπότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 2\Big(\frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}\Big).}$

Από την $\displaystyle{\frac{2xy}{x+y}\leq \frac{x+y}{2}}$ είναι

$\displaystyle{2\Big(\frac{a^2b}{a+b}+\frac{b^2c}{b+c}+\frac{c^2a}{c+a}\Big)\leq \frac{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ca}{2},}$

οπότε αρκεί

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq \frac{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ca}{2},}$ δηλαδή

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca,}$ η οποία ισχύει.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση