ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 5\\ xy + yz + zx = x + 7\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Η δεύτερη γράφεται

$\displaystyle{yz+x(y+z)=x+7}$

και λόγω της πρώτης έχουμε

$\displaystyle{yz+x(5-x)=x+7\implies yz=x^2-4x+7.}$

Από την ανισότητα

$\displaystyle{(y+z)^2\geq 4yz}$

προκύπτει

$\displaystyle{(5-x)^2\geq 4(x^2-4x+7)\implies (x-1)^2\leq 0\implies x=1.}$

Τότε, εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{y=z=2.}$

Λύση η τριάδα $\displaystyle{(1,2,2).}$

#3

Kαι λίγο διαφορετικά:

Από $\displaystyle{x+y+z=5\Rightarrow (x+y+z)^2 =25\Rightarrow x^2 +y^2 +z^2 +2(xy+yz+zx)=25\Rightarrow}$

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 +2(x+7)=25\Rightarrow x^2 +y^2 +z^2 +2x=11}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Aπό $\displaystyle{x+y+z=5\Rightarrow 4x+4y+4z=20}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Αφαιρώντας από την ΣΧΕΣΗ 1 την ΣΧΕΣΗ 2, παίρνουμε:

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 +2x-4x-4y-4z=-9\Rightarrow (x^2 -2x+1)+(y^2 -4y+4)+(z^2 -4z+4)=0\Rightarrow}$

$\displaystyle{(x-1)^2 +(y-2)^2 +(z-2)^2 =0\Rightarrow x=1 , y=2 , z=2}$ , τιμές που επαληθεύουν το σύστημα και άρα είναι δεκτές.

S.E.Louridas · #4

Μετά από τις Άριστες λύσεις του Θάνου και Δημήτρη, ας δούμε για λόγους πλουραλισμού και την εξής αντιμετώπιση.

Εύκολα παίρνουμε $y + z = 5 - x,\quad yz = x^2 - 4x + 7,$ «απαιτώντας» την ύπαρξη πραγματικού

, ώστε η εξίσωση $t^2 - \left( {5 - x} \right)t + x^2 - 4x + 7 = 0$
να έχει πραγματικές λύσεις ως προς

. Άρα η διακρύνουσα της θα πρέπει να είναι θετική ή μηδέν δηλαδή $- 3\left( {x - 1} \right)^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x = 1,$ που άμεσα μας δίνει y=z=2

.

ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 20 (GAZETA)

Μέλη σε σύνδεση