Ελάχιστο!

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{|2011^m- 45^n|}$ όπου $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι.

#2

socrates έγραψε:Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{|2011^m- 45^n|}$ όπου $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι.

Είναι

$\displaystyle{|2011-45^2|=14.}$

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\min |2011^m-45^n|=14.}$

Επειδή $\displaystyle{2011^m,45^n}$ είναι περιττοί, η διαφορά τους είναι άρτιος.

Απομένει να απορρίψουμε τα ενδεχόμενα η διαφορά τους να είναι $\displaystyle{0,\pm 2,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 10,\pm 12.}$

Το μηδέν είναι φανερό ότι απορρίπτεται, αφού θα έπρεπε να ισχύει $\displaystyle{2011^m=45^n,}$ άτοπο, αφού π.χ. το δεξί μέλος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$ , ενώ το αριστερό όχι.

Επίσης απορρίπτονται αμέσως τα $\displaystyle{\pm 6,\pm 12,}$ γιατί είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{3}$ , όπως και το $\displaystyle{45^n,}$ ενώ το $\displaystyle{2011}$ όχι.

Απορρίπτεται και το $\displaystyle{\pm 10}$ , γιατί φανερά τα $\displaystyle{2011^m,45^n}$ έχουν διαφορετικό τελευταίο ψηφίο.

Δουλεύοντας $\displaystyle{\mod 3}$ είναι

$\displaystyle{2011^m\equiv 1,}$ άρα αποκλείονται τα $\displaystyle{2,8.}$
Με $\displaystyle{\mod 5}$ είναι $\displaystyle{2011^m\equiv 1,}$ άρα αποκλείεται και το $\displaystyle{4.}$

Επίσης, με $\displaystyle{\mod 3}$ αποκλείεται το $\displaystyle{-4,}$ ενώ με $\displaystyle{\mod 5}$ αποκλείονται τα $\displaystyle{-2,-8.}$

Ελάχιστο!

Ελάχιστο!

Re: Ελάχιστο!

Μέλη σε σύνδεση