ΣΥΣΤΗΜΑ 29 (Μonthly Problem Sets)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3\\ {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3\\ \left( {x,y,z \in \mathbb Z} \right) \end{array} \right.}$
N.Z.

Broly · #2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3\\ {x^3} + {y^3} + {z^3} = 3\\ \left( {x,y,z \in Z} \right) \end{array} \right.}$
N.Z.

Από την ταυτότητα (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+z)

, μπορεί κάποιος μετά από πράξεις να καταλήξει στην (x+y)(y+z)(z+x)=8

.

Αν

,τότε $x=\frac{a-b+c}{2} , y=\frac{b-c+a}{2} , z=\frac{c-a+b}{2}$ , και παίρνοντας όλες τις περιπτώσεις

(a,b,c)=(1,1,8),(2,2,2),(1,2,4),(-1,-1,8),(-2,-2,2),(-1,-2,4)

και όλες τις μεταθέσεις αυτών μπορούμε να βρούμε ποιες λύσεις επαληθεύουν την αρχική.

Δεν είμαι σίγουρος αν είναι αυτή η σωστή λύση γιατί πρέπει να checkarei κάποιος αρκετές περιπτώσεις...

nikoszan · #3

Κώστα, ωραία. Να συμπληρώσω ότι είναι

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} a,b,c \in \mathbb Z\\ a + b + c = 2\left( {x + y + z} \right) = 6\\ a b c = 8 \end{array} \right.}\quad \Leftrightarrow$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {a,b,c} \right) \in \left\{ {\left( {2,2,2} \right),\left( { - 1, - 1,8} \right),\left( { - 1,8, - 1} \right),\left( {8, - 1, - 1} \right)} \right\} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) \in \left\{ {\left( {1,1,1} \right),\left( {4, - 5,4} \right),\left( {4,4, - 5} \right),\left( { - 5,4,4} \right)} \right\}}$
Ν.Ζ.

parmenides51 · #4

πάλι εδώ κι εδώ

μια παρόμοια

GIORGARAS έγραψε:Αν $x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}=8$ και $\displaystyle{x,y,z}$ ακέραιοι, να βρεθούν οι

εδώ

μια σχετική

matha έγραψε:Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου $\displaystyle{a,}$ για την οποία το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=a, \\ x^3+y^3+z^2=a \end{cases}}$ δεν έχει ακέραια λύση.

Μια λύση $\displaystyle{(x,y,z)}$ λέγεται ακέραια, όταν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{Z}.}$

εδώ

ΣΥΣΤΗΜΑ 29 (Μonthly Problem Sets)

ΣΥΣΤΗΜΑ 29 (Μonthly Problem Sets)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 29(Μonthly Problem Sets)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 29(Μonthly Problem Sets)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 29 (Μonthly Problem Sets)

Μέλη σε σύνδεση