Ελάχιστο σε ακεραίους

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left | 11^m-5^n\right |}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

#2

Είναι

. Επιπλέον $11^m - 5^n \equiv 0 \bmod 2$ και $11^m - 5^n \equiv 1 \bmod 5$ . Οπότε $11^m - 5^n \equiv 6 \bmod 10$ και άρα $|11^m - 5^n| \geqslant 4$ .

kostas_zervos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left | 11^m-5^n\right |}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Είναι $11\equiv 1\;\;mod\;10\Rightarrow 11^m\equiv 1\;\;mod\;10$ και $5^n\equiv 5\;\;mod\;10$ , για $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Άρα $11^m-5^n\equiv -4\;\;mod\; 10\iff 11^m-5^n\equiv 6\;\;mod\; 10$ και $5^n-11^m\equiv 4\;\;mod\; 10$ .

Επομένως ο $\left|11^m-5^n\right|$ έχει ψηφίο μονάδων το

ή το

.

Έτσι $\left|11^m-5^n\right|\geq 4$ και αφού |11^2-5^3|=4

, άρα η ελάχιστη τιμή του $\left|11^m-5^n\right|$ είναι

για $m=2\;,\;n=3$ .

#4

Για την ιστορία, την άσκηση αυτή μου την έστειλε προς λύση ένας Ρουμάνος φίλος με το σχόλιο ότι την είδε σε βιβλίο διαγωνισμών της πατρίδας του που απευθύνεται σε μαθητές Α Γυμνασίου! Σωστά διαβάσατε.

Η λύση που του έστειλα ήταν ουσιαστικά η ίδια με τις παραπάνω, μόνο που είναι προσαρμοσμένη για την εν λόγω τάξη. Συγκεκριμένα,

Το τελευταίο ψηφίο του 11^m

είναι

και του

είναι

. Άρα το τελευταίο ψηφίο του 11^m-5^n

είναι

ή

, ανάλογα αν 11^m

μεγαλύτερο ή μικρότερο από το 5^n

. Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός $\left |11^m-5^n \right |$ λήγει σε

ή παραπάνω, άρα η ελάχιστη τιμή είναι $\ge 4.$ To $m=2, \, n=3$ δίνει

, και λοιπά.

Είναι απίστευτο το επίπεδο των Μαθηματικών διαγωνισμών στην Ρουμανία.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Την καλημέρα μου στο

Κάτι σχετικό είδαμε και εδώ.

#6

Κι άλλη μια παρόμοια εδώ.

Με την ευκαιρία στην παραπάνω δημοσίευση οι ασκήσεις 1-3 είναι ακόμη άλυτες.

Αλέξανδρος

fotisfg · #7

Γεια σας,

Αρχικά παρατηρώ ότι
125 - 121 = 4

δηλ.

Ξέρω ότι κάθε δύναμη του 11 τελειώνει σε 1 και κάθε δύναμη του 5 σε 5.

Άρα θα έχω μία αφαίρεση του τύπου |***1 - ***5|

.

Στην περίπτωση που τα πρώτα μέρη των δύο αριθμών είναι ίδια τότε πάντα έχω τον αριθμό

, ενώ αν είναι διαφορετικά σίγουρα κάτι

.

Άρα $|11^m - 5^n| \geq 4$

Ήθελα να ρωτήσω αν η λύση μου είναι αρκετή για απόδειξη. Μήπως έχει κάποια κενά που δεν μπορώ να δω; Μπορείς να την θεωρήσεις "απόδειξη"; Μπορείτε να με βοηθήσετε;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων,

#8

fotisfg έγραψε: Αρχικά παρατηρώ ότι
δηλ.

Ξέρω ότι κάθε δύναμη του 11 τελειώνει σε 1 και κάθε δύναμη του 5 σε 5.

Άρα θα έχω μία αφαίρεση του τύπου .

Στην περίπτωση που τα πρώτα μέρη των δύο αριθμών είναι ίδια τότε πάντα έχω τον αριθμό , ενώ αν είναι διαφορετικά σίγουρα κάτι .

Άρα $|11^m - 5^n| \geq 4$

Ήθελα να ρωτήσω αν η λύση μου είναι αρκετή για απόδειξη. Μήπως έχει κάποια κενά που δεν μπορώ να δω; Μπορείς να την θεωρήσεις "απόδειξη"; Μπορείτε να με βοηθήσετε;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων,

Δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά από την λύση που έγραψα ο ίδιος παραπάνω. Οπότε ποια είναι η ερώτηση; Ότι η λύση που έγραψα είναι πλήρης;

Ναι, είναι.

Μ.

fotisfg · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά από την λύση που έγραψα ο ίδιος παραπάνω. Οπότε ποια είναι η ερώτηση; Ότι η λύση που έγραψα είναι πλήρης;

Ναι, είναι.

Μ.

Εντάξει ευχαριστώ, απλά δεν πρόσεξα ότι υπήρχε ήδη η λύση σε post.

#10

Παρόμοια:

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

#11

socrates έγραψε:Παρόμοια:

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Η ελάχιστη τιμή είναι το

για

.

Καταρχήν λόγω του ότι οι δυνάμεις του

έχουν τελευταίο ψηφίο το

ή το

, άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού A=|20^m-9^n|

είναι το

ή το

. Άρα δε μπορεί ο αριθμός

να είναι κάποιος από τους 0,2,3,4,5,6,7,8,10

.

Επίσης δε μπορεί να είναι |20^m-9^n|=9

διότι τότε έχουμε $20^m=9^n\pm 9$ και το δεξί μέλος είναι πολλαπλάσιο του

ενώ το αριστερό δεν είναι.

Αν είναι 20^m-9^n=1

τότε παίρνουμε $\mod{4}$ και έχουμε $-1\equiv 1\pmod{4}$ , άτοπο.

Τέλος, αν είναι 20^m-9^n=-1

τότε η τελευταία γράφεται (3^n-1)(3^n+1)=20^m

Επειδή

άρα μπορούμε να γράψουμε $\dfrac{3^n-1}{2}\cdot\dfrac{3^n+1}{2}=2^{2m-2}\cdot 5^m$ με $\left(\dfrac{3^n-1}{2},\dfrac{3^n+1}{2}\right)=1$ άρα έχουμε τις εξής περιπτωσεις (δεδομένου ότι $2^{2m-2}<5^m$ για $m\geq 1$ ):

$(\Sigma_1) \ \ \begin{cases}\dfrac{3^n-1}{2}=2^{2m-2} \\ \dfrac{3^n+1}{2}=5^m \end{cases} \ \ (\Sigma_2) \ \ \begin{cases}\dfrac{3^n-1}{2}=1 \\ \dfrac{3^n+1}{2}=2^{2m-2}\cdot 5^m \end{cases}$

Το $(\Sigma_2)$ δίνει n=1

αλλά δε μπορούμε να βρούμε θετικό ακέραιο

ώστε να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη.

Το $(\Sigma_1)$ με αφαίρεση των 2 σχέσεων κατά μέλη δίνει $5^m-2^{2m-2}-1=0$ κάτι που δε μπορεί να συμβεί καθώς $5^m>2^{2m-2}+1$ για $m\geq 1$ .

Αλέξανδρος

Ελάχιστο σε ακεραίους

Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Re: Ελάχιστο σε ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση