ΣΥΣΤΗΜΑ 36

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\ {x^7} + {y^7} + {z^7} = 350\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

S.E.Louridas · #2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\ {x^7} + {y^7} + {z^7} = 350\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$

Αν θεωρήσουμε πολυώνυμο τρίτου βαθμού με ρίζες τα $\displaystyle{x,y,z}$ αυτό θα είναι της μορφής $v^3 + kv + \ell = 0,$ οπότε θα πάρουμε $\displaystyle{xy+yz+zx=k, xyz=\ell}$ από όπου τελικά προκύπτουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{\frac{{x^7 + y^7 + z^7 }} {7} = \frac{{x^2 + y^2 + z^2 }} {2} \cdot \frac{{x^5 + y^5 + z^5 }} {5}\quad \left( 1 \right)}$ και $\displaystyle{5\left( {x^3 + y^3 + z^3 } \right)\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) = 6\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)\quad \left( 2 \right).}$
Συνδυάζοντας τα παραπάνω αρκεί να επιλύσουμε τελικά το σύστημα:
$\displaystyle{y + z = - x,\quad yz = \frac{2} {x},\quad x^2 + y^2 + z^2 = 10...}$

(*) Οι σχέσεις (1), (2) έχουν συζητηθεί εδώ στο mathematica, αλλά συγχωρήστε μου το να μην θυμάμαι που ακριβώς.

edit: Μπήκε το σωστό 10 στην θέση του 1 που προφανώς είναι αβλεψία στην $\quad x^2 + y^2 + z^2 = 10...}$

#3

S.E.Louridas έγραψε: (*) Οι σχέσεις (1), (2) έχουν συζητηθεί εδώ στο mathematica, αλλά συγχωρήστε μου το να μην θυμάμαι που ακριβώς.

--->εδώ.

#4

Θέτουμε

Είναι

οπότε

Άρα $x^{n+3}=5x^{n+1}+x^{n+1}yz$ και ομοίως $y^{n+3}=5y^{n+1}+xy^{n+1}z$ και $z^{n+3}=5z^{n+1}+xyz^{n+1}.$

Προσθέτουμε και προκύπτει $\boxed{S_{n+3}=5S_{n+1}+xyzS_n}.$

Είναι $\boxed{S_1=0},$ $\boxed{S_2=10}$ και από την ταυτότητα του Euler $\boxed{S_3=3xyz}.$

Για n=1

βρίσκουμε $\boxed{S_4=5S_2=50}.$

Για n=2

βρίσκουμε $\boxed{S_5=25xyz}.$

Για n=4

βρίσκουμε $\boxed{S_7=175xyz}.$

Όμως S_7=350

οπότε

Επιπλέον

και

Οι

είναι οι λύσεις της εξίσωσης t^3-5t-2=0.

Η τελευταία έχει λύση το

οπότε εύκολα $\left\{x,y,z \right\}=\left\{-2,1+\sqrt{2},1-\sqrt{2} \right\}.$

nikoszan · #5

Όμορφες προσεγγίσεις .
Ν.Ζ.

parmenides51 · #6

παρόμοιες

cretanman έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=3 } \\ x^3+y^3+z^3=15} \\ x^5+y^5+z^5=83.} \end{array} \right.$

εδώ

matha έγραψε:Να βρεθούν οι $\displaystyle{x,y,z,w,t \in [-2,2]}$ , για τους οποίους ισχύουν

$\displaystyle{x+y+z+w+t=0 }$

$\displaystyle{x^3+y^3+z^3+w^3+t^3=0}$

$\displaystyle{x^5+y^5+z^5+w^5+t^5=10.}$

εδώ

μερικές σχετικές ταυτότητες

vasilis.volos.13 έγραψε:Αν ισχύει όπου $a,b,c\in \mathbb R$ να δειχθεί ότι :

1) $\;\;(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$

2) $\;\;\displaystyle \frac{a^7+b^7+c^7}{7}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\cdot \frac{a^5+b^5+c^5}{5}$

3) $\;\;5(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=6(a^5+b^5+c^5)$

εδώ

parmenides51 · #7

Ας συμπληρώσω την λύση του Σωτήρη

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\ {x^7} + {y^7} + {z^7} = 350\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$

Αν θεωρήσουμε πολυώνυμο τρίτου βαθμού με ρίζες τα $\displaystyle{x,y,z}$ αυτό θα είναι της μορφής $v^3 + kv + \ell = 0,$

οπότε θα πάρουμε $\displaystyle{xy+yz+zx=k, xyz=\ell}$ από όπου τελικά προκύπτουν οι σχέσεις:

$\displaystyle{\frac{{x^7 + y^7 + z^7 }} {7} = \frac{{x^2 + y^2 + z^2 }} {2} \cdot \frac{{x^5 + y^5 + z^5 }} {5}}$ (1) και $\displaystyle{5\left( {x^3 + y^3 + z^3 } \right)\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right) = 6\left( {x^5 + y^5 + z^5 } \right)}$ (2)

(οι αποδείξεις τους βρίσκονται εδώ)

(1) $\displaystyle{ \Rightarrow \frac{350} {7} = \frac{10} {2} \cdot \frac{{x^5 + y^5 + z^5 }} {5}\Leftrightarrow x^5 + y^5 + z^5=50}$

οπότε αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε $\displaystyle{ 5\left( {x^3 + y^3 + z^3 } \right)\cdot 10 = 6\cdot 50 \Leftrightarrow 50( x^3 + y^3 + z^3)=300 \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3=6}$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω αρκεί να επιλύσουμε τελικά το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{red}(3) }\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\,\, {\color{red}(4) }\\ {x^3} + {y^3} + {z^3} =6 \,\,\,\,{\color{red}(5) } \end{array} \right.}$

(3) $\displaystyle{\Rightarrow y + z =-x \Rightarrow (y + z)^2 =(-x)^2 \Leftrightarrow y^2+z^2+2yz=x^2\,\, \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{(4)} \,\,10-x^2+2yz=x^2 \Leftrightarrow yz=x^2-5}$ (6)

(3) $\displaystyle{\Rightarrow y + z =-x \Rightarrow (y + z)^3 =(-x)^3\Leftrightarrow y^3+z^3+3yz(y+z)=-x^3 }$

οπότε λόγω των (1),(5),(6) έχουμε

$\displaystyle{\Leftrightarrow 6-x^3+3(x^2-5)(-x)=-x^3 \Leftrightarrow 6-x^3-3x^3+15x=-x^3 \Leftrightarrow -3x^3+15x+6=0 }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^3-5x-2=0 \Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x-1)=0 \Leftrightarrow x=-2}$ ή $\displaystyle{x=1\pm \sqrt2}$

Επειδή το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς κάθε μεταβλητή, οι τιμές που βρήκαμε για το $\displaystyle{x}$ αντιστοιχούν και στις τιμές για τις άλλες μεταβλητές $\displaystyle{ y,z}$ .

Αναζητούμε τις τριάδες αριθμών (όχι απαραίτητα διαφορετικών) από το σύνολο $\displaystyle{\{-2,1+\sqrt2,1- \sqrt2\}}$ που ικανοποιούν το δοθέν σύστημα

Με αντικατάσταση βρίσκουμε πως λύσεις είναι οι όλες οι τριάδες με διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς από το παραπάνω σύνολο, δηλαδή οι

$\displaystyle{(x_1,y_1,z_1)=(-2,1+\sqrt2,1- \sqrt2)}$
$\displaystyle{(x_2,y_2,z_2)=(-2,1-\sqrt2,1+\sqrt2)}$
$\displaystyle{(x_3,y_3,z_3)=(1+\sqrt2,-2,1- \sqrt2)}$
$\displaystyle{(x_4,y_4,z_4)=(1+\sqrt2,1-\sqrt2,-2)}$
$\displaystyle{(x_5,y_5,z_5)=(1-\sqrt2,-2,1+ \sqrt2)}$
$\displaystyle{(x_6,y_6,z_6)=(1-\sqrt2,1+\sqrt2,-2)}$

edit
Διόρθωση προσήμων στην σχέση (6), και όσων μεταφέρθηκαν εξαιτίας της, ευχαριστώ τον Παύλο (Μαραγκουδάκη) που το πρόσεξε

#8

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\ {x^7} + {y^7} + {z^7} = 350\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

Λύνεται και με την ταυτότητα (x+y)^7=x^7+y^7+7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2,

οπότε βρίσκουμε το xyz...

ΣΥΣΤΗΜΑ 36

ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 36

Μέλη σε σύνδεση