ΣΥΣΤΗΜΑ 39

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} + \sqrt {6{y^2} + 3{z^2}} + \sqrt {6{z^2} + 3{x^2}} = 6039\\ x + y + z = 2013\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Ας θέσουμε για ευκολία $\displaystyle{x=671a,y=671b,z=671c.}$ Τότε, το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{a+b+c=3, ~\sqrt{6a^2+3b^2}+\sqrt{6b^2+3c^2}+\sqrt{6c^2+3a^2}=9.}$

Είναι $\displaystyle{\sqrt{6a^2+3b^2}\geq 2a+b}$ (γιατί;) και η ισότητα ισχύει αν-ν $\displaystyle{a=b.}$

Άρα

$\displaystyle{9=\sqrt{6a^2+3b^2}+\sqrt{6b^2+3c^2}+\sqrt{6c^2+3a^2}\geq 2a+b+2b+c+2c+a=3(a+b+c)=9.}$

Άρα είναι $\displaystyle{a=b=c,}$ άρα $\displaystyle{a=b=c=1.}$

#3

Από την ανισότητα τετραγωνικού-αριθμητικού μέσου έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sqrt {\frac{{6{x^2} + 3{y^2}}}{9}} \ge \frac{{6x + 3y}}{9} \Leftrightarrow \sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} \ge 2x + y,}$

με το ίσον αν και μόνο αν x = y

. Επομένως,

$\displaystyle{6039 = \sum\limits_{cyc} {\sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} } \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {2x + y} \right)} = 3\left( {x + y + z} \right) = 6039,}$

οπότε $\displaystyle{x = y = z = 671}$ .

kostas_zervos · #4

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} + \sqrt {6{y^2} + 3{z^2}} + \sqrt {6{z^2} + 3{x^2}} = 6039\\ x + y + z = 2013\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

Και μία λύση με ύλη Β Λυκείου:

Έστω τα διανύσματα $\vec{a}=\left(\sqrt{6}x,\sqrt{3}y\right)\;,\;\vec{b}=\left(\sqrt{6}y,\sqrt{3}z\right)$ και $\vec{c}=\left(\sqrt{6}z,\sqrt{3}x\right)$ .

Τότε $|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|=\sqrt {6{x^2} + 3{y^2}} + \sqrt {6{y^2} + 3{z^2}} + \sqrt {6{z^2} + 3{x^2}} = 6039$ .

Επίσης $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\left(\sqrt{6}(x+y+z),\sqrt{3}(x+y+z)\right)=\left(2013\sqrt{6},2013\sqrt{6}\right)$ .

Άρα $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{2013^2\cdot 6+2013^2\cdot 3}=\sqrt{9\cdot 2013^2}=6039$ .

Άρα $|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|=|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ .

Αλλά $|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|\geq |\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{c}|\geq |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ με τις ισότητες να ισχύουν όταν

$\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}$ και $\vec{a}+\vec{b}\uparrow\uparrow\vec{c}$ , άρα όταν $\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}\uparrow\uparrow\vec{c}$ .

Αυτό σημαίνει x,y,z

ομόσημοι και $\left|\begin{array}{cc}\sqrt{6}x&\sqrt{3}y\\\sqrt{6}y&\sqrt{3}z\end{array}\right|=0$ και $\left|\begin{array}{cc}\sqrt{6}x&\sqrt{3}y\\\sqrt{6}z&\sqrt{3}x\end{array}\right|=0$ και $\left|\begin{array}{cc}\sqrt{6}y&\sqrt{3}z\\\sqrt{6}z&\sqrt{3}x\end{array}\right|=0$ , άρα

$\begin{cases}xz=y^2\\yz=x^2\\yx=z^2\end{cases}$ .

Από τις δύο πρώτες έχουμε $z(x-y)=(y-x)(y+x)\iff$

$\iff (y-x)(x+y+z)=0\iff 2013(y-x)=0\iff y=x$ και από την τρίτη $x^2=z^2\iff x=z$ .

Τότε $3x=2013\iff x=671$ , άρα (x,y,z)=(671,671,671)

.

ΣΥΣΤΗΜΑ 39

ΣΥΣΤΗΜΑ 39

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 39

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 39

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 39

Μέλη σε σύνδεση