Ανισότητα !

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

, να δειχτεί ότι $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 3(b-c)(a-b)$ .

Πότε ισχύει το ίσον;

Υ.Γ. Να κρατηθούν μία μέρα οι ''δεινόσαυροι'' ...

harrisp · #2

Καλημέρα Ορέστη!

Η δοσμένη μετα απο πράξεις γράφεται:

$a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ca\geq 0$ . Αυτή ομως με την σειρά της γινεται χρησιμοποιώντας μια βασική ταυτότητα: ${(a-2b+c)}^2\geq 0$ που ισχύει.Η ισότητα ισχυει αν a+c=2b

#3

Διαφορετικά:

Το αριστερό μέλος ισούται με $\displaystyle{ \frac{1}{2}\left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right]}$

Θέτοντας λοιπόν x = a-b

και

η ζητούμενη ανισότητα μετατρέπεται στην

$\displaystyle{ (x+y)^2 + x^2 + y^2 \geqslant 6xy.}$

Η τελευταία είναι απλή αφού οι $(x+y)^2 \geqslant 4xy$ και $x^2 + y^2 \geqslant 2xy$ είναι γνωστές.

Ισότητα έχουμε αν και μόνο αν x=y

, δηλαδή αν και μόνο αν a+c=2b

. Δηλαδή αν και μόνο αν οι a,b,c

αποτελούν αριθμητική πρόοδο με μεσαίο αριθμό το

. Η συνθήκη a,b,c > 0

δεν χρειάζεται.

Ορέστης Λιγνός · #4

Καλημέρα Χάρη, καλημέρα κύριε Δημήτρη και ευχαριστώ για τις λύσεις!

Η δική μου λύση ήταν αυτή του κύριου Δημήτρη.

#5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αν , να δειχτεί ότι $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 3(b-c)(a-b)$ .

Πότε ισχύει το ίσον;

Υ.Γ. Να κρατηθούν μία μέρα οι ''δεινόσαυροι'' ...

Καλημέρα σε όλους!

Σαν του Χάρη, αλλά με διαφορετική απόδειξη.Η δοσμένη ανισότητα γράφεται:

$\displaystyle{{(a - b)^2} + ab + {c^2} - bc - ca \ge 3(b - c)(a - b) \Leftrightarrow {(a - b)^2} + (b - c)(a - c) \ge 3(b - c)(a - b) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{(a - b)^2} + (b - c)(a - c) - 2(a - b)(b - c) - (a - b)(b - c) \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{(a - b)^2} - 2(a - b)(b - c) + {(b - c)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - 2b + c)^2} \ge 0}$

#6

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αν , να δειχτεί ότι $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geq 3(b-c)(a-b)$ .

Πότε ισχύει το ίσον;

Υ.Γ. Να κρατηθούν μία μέρα οι ''δεινόσαυροι'' ...

Παρατηρούμε ότι η διαφορά

P(a)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca -3(b-c)(a-b)

του αριστερού από το δεξί μέλος γράφεται ως πολυώνυμο δευτέρου βαθμού του

:

με διακρίνουσα

$\Delta=(4b-2c)^2-4(4b^2+c^2-4bc)=16b^2-16bc+4c^2-16b^2-4c^2+16bc=0$

Αφού ο συντελεστής του a^2

είναι 1 (θετικός αριθμός), έπεται ότι $P(a)\geq 0$ για κάθε $a\in \mathbb{R}$ με το ίσο αν και μόνο αν.

$a=\dfrac{4b-2c}{2}=2b-c$ .

Είναι, επίσης, φανερό κι από αυτή τη λύση πως η συνθήκη a,b,c>0

είναι περιττή.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

Σε συνέχεια της παραπάνω ανάρτησης, ας προτείνουμε μια μικρή γενίκευση:

Αν $-1\leq \lambda \leq 3$ , τότε να δειχθεί ότι

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq \lambda (b-c)(a-b).$

για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a,b,c.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ανισότητα !

Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Re: Ανισότητα !

Μέλη σε σύνδεση