Αναζήτηση πηγής (1)

[Demetres]

Μου την έστειλαν χθες ρωτώντας με για την πηγή. Μάλλον από κάποιο διαγωνισμό του . Έχει κάποιος υπόψη; Οι υπόλοιποι ας την δοκιμάσουν.

Πόσα πολλαπλάσια του έχουν ακριβώς διαιρέτες;

[Mihalis_Lambrou]

Πόσα πολλαπλάσια του έχουν ακριβώς διαιρέτες;

Ωραία ασκησούλα. Δυστυχώς δεν ξέρω την πηγή της.

Λύση: Από το γεγονός ότι η ανάλυση του σε πρώτους, τα πολλαπάσια του είναι είτε της μορφής

α) με σε περίπτωση που δεν υπάρχουν άλλοι πρώτοι διαιρέτες, ή της

β) , αν έχει άλλους πρώτους διαιρέτες, ας πούμε τους p, ... , q (αν ήταν μόνο άλλος ένας, ο p, τα παρακάτω δεν αλλάζουν ουσιαστικά).

Η δεύτερη πρίπτωση αποκλείεται γιατί το πλήθος των διαιρετών θα ήταν , που δεν μπορεί να ισχύει από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες (το αιστερό μέλος περιέχει τουλάχιστον τέσσερις πρώτους παράγοντες αλλά το δεξί ακριβώς τρεις, με εκθέτη ).

Τελικά που σημαίνει ή κυκλικά (έξι εκδοχές).

Άρα έχουμε έξι περιπτώσεις, τις

,

...

[Soteris]

Δημήτρη δες εδώ. Άσκηση 22.

[Mihalis_Lambrou]

Δημήτρη δες εδώ. Άσκηση 22.

Δεν την θυμώμουν αλλά υπάρχει και λόγος γι' αυτό.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή: Η παραπάνω άσκηση είναι από τον διαγωνισμό Καγκουρό στην Κύπρο (αλλά όχι στην Ελλάδα) του 2013.

Διευκρινίζω ότι τα θέματα του Διεθνούς Μαθηματικού Διαγωνισμού Καγκουρό βγαίνουν κεντρικά με την συμμετοχή, εννοείται, και της Κύπρου και Ελλάδας. Αφού βγουν τα θέματα, ο εκάστοτε υπεύθυνος του διαγωνισμού σε κάθε μία από τις συμμετέχουσες χώρες (στην Ελλάδα είμαι εγώ), τα προσαρμόζει και τα μεταφράζει στην γλώσσα του.

Τώρα, ο Διεθνής Οργανισμός Καγκουρό (KSF) επιτρέπει σε κάθε εκπρόσωπο να κάνει κάποιες αλλαγές, να προσθαφαιρέσει θέματα και λοιπά, κατά την κρίση του, δεδομένου ότι υπάρχουν διαφορές στα αναλυτικά προγράμματα κάθε χώρας που συμμετέχει. Με άλλα λόγια του επιτρέπει να προσαρμόσει τα θέματα στην δική του πραγμάτικότητα, χωρίς βέβαια να αλλιώσει ουσιαστικά τον διαγωνισμό.

Η συγκεκριμένη άσκηση απευθυνόταν σε μαθητές Γ' Γυμνασίου. Σωστά διαβάσατε! Επειδή (και νομίζω ότι θα συμφωνήσετε) η άσκηση χρησιμοποιεί γνώσεις πέρα από αυτά που γνωρίζουν οι μαθητές της Γ' Γυμνασίου στην Ελλάδα, την αφαίρεσα από τον ελληνικό διαγωνισμό Καγκουρό. Γι 'αυτό δεν την θυμώμουν. Στην θέση της έβαλα άλλη στο ύφος του διαγωνισμού. Άλλωστε το ίδιο το Καγκουρό δίνει και απόθεμα ασκήσεων για να αντικαταστήσουν εκείνες που ο τοπικός εκπρόσωπος κρίνει ακατάλληλες, για τους λόγους του.

Η όλη φιλοσοφία του διαγωνισμού διέπεται από τον κανόνα ότι "δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις πέρα από αυτά που γνωρίζει ο μαθητής στην εκάστοτε τάξη". Έκρινα, με απόλυτη συνείδηση της ευθύνης μου, ότι είναι προς όφελος του έλληνα μαθητή και του ελληνικού διαγωνισμού Καγκουρό, να την αφαιρέσω/αντικαταστήσω.

Ο Κύπριος ομόλογος (συνάδελφος και φίλος) έκρινε ότι η άσκηση είναι κατάλληλη για μαθητές Γ' Γυμνασίου στην χώρα του. Αυτό είναι απόλυτα στην δικαιοδοσία του. Προφανώς σκέφθηκε ότι το Καγκουρό είναι διαγωνισμός οπότε μία προκλητική ή μία έξυπνη άσκηση είναι θεμιτή, δεδομένου ότι μπορεί να ξεχωρίσει τον πραγματικά ταλαντούχο μαθητή από τον πιο μέτριο. Ορθόν.

Έκανα καλά που αφαίρεσα την εν λόγω άσκηση από τον ελληνικό διαγωνισμό Καγκουρό, όπως έχω το δικαίωμα και την υποχρέωση να κάνω, κατά την κρίση μου; Εσείς θα το κρίνετε. Ας προσθέσω ότι στον διαγωνισμό ο μαθητής της Γ' Γυμνασίου έχει χρόνο 3 έως το πολύ 5 λεπτά να την λύσει (εσάς πόσο σας πήρε;). Επίσης, επειδή η άσκηση είναι η νούμερο 22, σημαίνει ότι ο διαγωνισμός περιέχει άλλες 8 ακόμη δυσκολότερες ασκήσεις. Υπόψη, ο διαγωνισμός Καγκουρό έχει σκοπό την διάδοση της αγάπης των Μαθηματικών, και όχι να αποθήσει τα παιδιά μόνο και μόνο επειδή δεν μπορούν να λύσουν τα θέματα (όπως π.χ. συμβαίνει με τα θέματα της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας που απευθύνονται ΜΟΝΟ στην αφρόκρεμα των ταλαντούχων στα Μαθηματικά). Με ένα πρόχειρο έλεγχο που έκανα, οι περισσότερες (αλλά όχι όλες) οι χώρες που οργανώνουν τον διαγωνισμό Καγκουρό αφαίρεσαν/αντικατέστησαν την εν λόγω άσκηση από τα δικά τους θέματα.

Αυτά για την ιστορία.

[Demetres]

Η άσκηση είναι όμορφη.

Βασίζεται στο να γνωρίζει ο μαθητής πως να βρει το πλήθος των διαιρετών ενός αριθμού αν τον γράψουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Είναι καλή λοιπόν είτε ως άσκηση για μάθημα αριθμοθεωρίας, είτε ακόμη και ως άσκηση προκριματικού διαγωνισμού junior ιδίως αν υπάρχουν περισσότεροι από ένας προκριματικοί. [Είχα ψάξει τους προκριματικούς της Κύπρου του . Δεν σκέφτηκα όμως να κοιτάξω τον Καγκουρό.]

Για τον διαγωνισμό Καγκουρό νομίζω και εγώ πως δεν είναι κατάλληλη για τους λόγους ακριβώς που παραθέτει ο Μιχάλης. Για τις χώρες και τάξεις όπου διδάσκεται το πλήθος των διαιρετών είναι πάρα πολύ καλή για τον διαγωνισμό Καγκουρό.

[Soteris]

Να πω και εγώ με τη σειρά μου ότι θεωρώ ακατάλληλη τη συγκεκριμένη άσκηση για το διαγωνισμό αυτό. Να μην ξεχνάμε ότι κάθε μαθητής έχει στη διάθεσή του 75 λεπτά για να "αντιμετωπίσει" 30 ασκήσεις.. Ακόμα και οι "χαρισματικοί" μαθητές θα σπαταλήσουν αρκετά λεπτά για να καταλήξουν στην απάντησή τους.

Φυσικά, υπάρχει και η αντίθετη άποψη που λέει ότι δεν παίζει καμιά σημασία αφού τα αποτελέσματα είναι συγκριτικά. Εδώ όμως μπαίνει στο παιχνίδι ο παράγοντας "Διώχνω τα παιδιά από το διαγωνισμό". Είναι γεγονός ότι πολλά παιδιά αποφεύγουν το διαγωνισμό αυτό, γιατί θεωρούν τον χρόνο πολύ λίγο για να αντιμετωπίσουν ασκήσεις όπως αυτήν.

Συνεπώς, κατά την προσωπική μου ταπεινή άποψη, πολύ καλά κάνατε κ. Λάμπρου που αντικαταστήσατε την άσκηση αυτή με κάποια άλλη. Αν σας είναι εύκολο, πείτε μας ποια ήταν η "αντικαταστάτρια".

Ευχαριστούμε για τις χρήσιμες πληροφορίες που μας δώσατε. Για να είμαι ειλικρινής, δεν γνώριζα ότι κάθε χώρα έχει το δικαίωμα αντικατάστασης ασκήσεων με άλλες, με στόχο να προσαρμόσει το διαγωνισμό όσο γίνεται στο δικό της αναλυτικό πρόγραμμα.

Να πω επίσης ότι στην Κύπρο ο διαγωνισμός Καγκουρό διεξάγεται από το ίδρυμα Θαλής.