ανισότητα με απόλυτα-1

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$\displaystyle a_1+a_2+...+a_n=0$ και

$\displaystyle|a_1|+|a_2|+...+|a_n|=1$ .

Να δείξετε ότι $\displaystyle |a_1+2a_2+...+na_n|\leq \frac{n-1}{2}$ .

hsiodos · #2

Μια αντιμετώπιση

$\displaystyle{a_1 + a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_n = 0\,\,\,\,\,(1)}$ και $\displaystyle{\left| {\,a_1 \,} \right| + \left| {\,a_2 \,} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {\,a_n \,} \right| = 1\,\,\,\,(2)}$ . Προφανώς n φυσικός με $\displaystyle{n \ge 2}$ .

Για κάθε $\displaystyle{\,k \in N^* \,,\,\,k\, < n}$ ονομάζουμε $\displaystyle{S_k = a_1 + a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_k }$ και $\displaystyle{S_k{'} = a_{k + 1} + a_{k + 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k + (n - k)} \,}$ . Λόγω της (1) $\displaystyle{S_k{'} = - S_k \Rightarrow \,\left| {\,S_k } \right| = \left| {S_k{'} \,} \right|}$ . Έχουμε

$\displaystyle{ \left| {\,a_1 \,} \right| + \left| {\,a_2 \,} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {\,a_k \,} \right|\,\,\, \ge \,\,\,\left| {\,S_k } \right|\,\,\,(3)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left| {\,a_{k + 1} \,} \right| + \left| {\,a_{k + 2} \,} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {\,a_{k + (n - \kappa )} \,} \right| \ge \left| {S_k{'} \,} \right| = \left| {\,S_k } \right|\,\,\,(4)}$

Με πρόσθεση κατά μέλη των (3) , (4) και λόγω της (2) παίρνουμε $\displaystyle{1 \ge 2\,\left| {\,S_k } \right|\, \Rightarrow \,\left| {\,S_k } \right|\, \le \frac{1}{2}\,}$ , δηλαδή για κάθε $\displaystyle{k \in N^* \,,\,\,k\, < n\,}$ ισχύει $\displaystyle{\,\left| {\,S_k } \right|\, \le \frac{1}{2}}$ όπου $\displaystyle{S_k = a_1 + a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_k }$

τώρα: $\displaystyle{ S = a_1 + 2a_2 + \cdot \cdot \cdot + na_n \Rightarrow S = (a_1 + a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_n ) + (a_2 + a_3 + \cdot \cdot \cdot + a_n ) + (a_3 + a_4 + \cdot \cdot \cdot + a_n ) + \cdot \cdot \cdot + (a_{n - 1} + a_n ) + (a_n )}$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} S = 0 - a_1 - (a_1 + a_2 ) - (a_1 + a_2 + a_3 ) - \cdot \cdot \cdot - (a_1 + a_2 + \cdot \cdot \cdot + a_n ) \Rightarrow S = - (S_1 + S_2 + \cdot \cdot \cdot + S_{n - 1} )}$ , οπότε

$\displaystyle{\left| {\,S\,\,} \right| = \left| {S_1 + S_2 + \cdot \cdot \cdot + S_{n - 1} \,} \right| \le \left| {\,S_1 } \right| + \left| {\,S_2 } \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {\,S_{n - 1} } \right| \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2} = \frac{{n - 1}}{2}}$

Γιώργος

#3

Άλλη λύση:
http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=19&t=42&start=0

ανισότητα με απόλυτα-1

ανισότητα με απόλυτα-1

Re: ανισότητα με απόλυτα-1

Re: ανισότητα με απόλυτα-1

Μέλη σε σύνδεση