Παραγοντοποιηση

papel · #1

Εαν $\displaystyle{x,y,z \in R}$ και $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = {z^2}}$ να παραγοντοποιησετε την ποσοτητα

$\displaystyle{D = {x^3} + {y^3} + {z^3}}$ (να γραφτει σαν γινομενο παραγοντων)

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

papel · #3

Λευτερη αν θες γραψε αναλυτικα την λυση. Εγω παντως απετυχα να την βγαλω

. Να πω για την ιστορια οτι την ασκηση την εχει προτεινει ο Μπαμπης Στεργιου σε ξενο περιοδικο.

#4

Ακολουθώντας τα βήματα (φαντάζομαι) του Λευτέρη:

$\displaystyle x^2 + y^2 = z^2 \; \Rightarrow \;z^3 = x^2 z + y^2 z$

$\displaystyle x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 + x^2 z + y^2 z = x^2 \left( {x + z} \right) + y^2 \left( {y + z} \right) =$

$\displaystyle \left( {z^2 - y^2 } \right)\left( {x + z} \right) + y^2 \left( {y + z} \right) =$

$\displaystyle \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + z} \right) + y^2 \left( {y + z} \right) = \left( {y + z} \right)\left[ {\left( {z - y} \right)\left( {x + z} \right) + y^2 } \right]$

Και συνεχίζουμε λίγο ακόμη:
$\displaystyle = \begin{array}{l} \left( {y + z} \right)\left[ {\left( {z - y} \right)\left( {x + z} \right) + z^2 - x^2 } \right] = \left( {y + z} \right)\left[ {\left( {z - y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {x + z} \right)\left( {z - x} \right)} \right] = \\ \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\left( {2z - y - x} \right) \\ \end{array}$

Γιώργος Ρίζος

#5

papel έγραψε:Λευτερη αν θες γραψε αναλυτικα την λυση. Εγω παντως απετυχα να την βγαλω . Να πω για την ιστορια οτι την ασκηση την εχει προτεινει ο Μπαμπης Στεργιου σε ξενο περιοδικο.

Τώρα που τελείωσε το ματς (και μας έβγαλε την ψυχή, επανέρχομαι...)

Καταρχήν δεν έβαλα λύση, μήπως και την προσπαθούσε κάποιος μαθητής.

Η ιδέα μου ήταν ως εξής:

Έχουμε: $x^2+y^2=z^2 \Leftrightarrow x^2=z^2-y^2$

Συνεπώς:

$x^3+y^3+z^3=x^2 \cdot x+y^3+z^3=(z^2-y^2)x+y^3+z^3=$
=(z-y)(z+y)x+(y+z)(y^2-yz+z^2)=(z+y)(zx-yx+y^2-yz+z^2)

.

Ο Γιώργος (Rigio) έδειξε ότι πάει και παρακάτω.

papel · #6

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Ο Γιώργος (Rigio) έδειξε ότι πάει και παρακάτω.

I bow before the master!

#7

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: Ο Γιώργος (Rigio) έδειξε ότι πάει και παρακάτω.

Από την στιγμή που τόσο η παράσταση όσο και η δεδομένη ισότητα είναι συμμετρικές ως προς

και

, και εφ' όσων το y+z

είναι παράγοντας της παράστασης, τότε αναγκαστικά πρέπει και το x+z

να είναι παράγοντας. (Αν δεν ήταν τότε μάλλον κάτι θα είχαμε κάνει λάθος.)

parmenides51 · #8

κι εδώ

Παραγοντοποιηση

Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Re: Παραγοντοποιηση

Μέλη σε σύνδεση