Gazeta Matematica 2

#1

Αν $f,g:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι δύο συναρτήσεις, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $x,y \in [0,1]$ , ώστε $|f(x)+g(y)-xy|\geq \frac {1}{4}$
(Είναι η άσκηση 26305 του Gazeta Matematica- Στο περιοδικό δεν έχει δημοσιευθεί λύση)

#2

Έστω πως ισχύει:

|f(x)+g(y)-xy|<1/4

για κάθε

στο

Αρα:

Για x=y=0

έχουμε:

Για

έχουμε:

Με πρόσθεση κατά μέλη και με χρήση τριγωνικής ανισότητας:

$\displaystyle{ |(f(0) + g(0)) - (f(1) + g(0))| \le |f(0) + g(0)| + |f(1) + g(0)| < \frac{1}{2} \Rightarrow |f(0) - f(1)| < \frac{1}{2} }$ (1)

Ακόμη

για x=0, y=1 |f(0)+g(1)|<1/4

και για

Mε πρόσθεση κατά μέλη και χρήση της τριγωνικής ανισότητας:

$\displaystyle{ |(f(0) + g(1)) - (f(1) + g(1) - 1)| \le |f(0) + g(1)| + |f(1) + g(1) - 1| < \frac{1}{2} \Rightarrow |f(0) - f(1) + 1| < \frac{1}{2} }$ (2)

Απο (1)

και

με παρόμοιο σκεπτικό:

$\displaystyle{ |(f(0) - f(1) + 1) - (f(0) - f(1))| \le |f(0) - f(1) + 1| + |f(0) - f(1)| < 1 \Rightarrow 1 < 1 }$

άτοπο.

Αρα υπάρχουν x,y

στο

τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ |f(x) + g(y)-xy| \ge \frac{1}{4} }$

Υ.Γ: ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ LATEX 4/08/2015

Gazeta Matematica 2

Gazeta Matematica 2

Re: Gazeta Matematica 2

Μέλη σε σύνδεση