Ορθογώνιες επιφάνειες!

#1

Με αφορμή αυτό:

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2-m}+\frac{y^2}{b^2-m}+\frac{z^2}{c^2-m}=1,~m ~\text{\gr παράμετρος}}$

ορίζει στον χώρο ομοέστιες επιφάνειες δεύτερης τάξης, οι οποίες αποτελούν τριπλά ορθογώνιο σύστημα επιφανειών.

A.Taouktsoglou · #2

Αφού $(a^2 - m)(b^2 - m)(c^2 - m) \ne 0$ , έχουμε
(a^2 - m)(b^2 - m)(c^2 - m) > 0

ή

.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1η περίπτωση: (a^2 - m)(b^2 - m)(c^2 - m) < 0

.

1α περίπτωση: Οι αριθμοί a^2 - m,b^2 - m,c^2 - m

είναι και οι τρεις θετικοί.
● Αν a^2 = b^2 = c^2

, δηλ.

η παραπάνω εξίσωση παριστάνει σφαίρα με κέντρο Ο(0,0,0) και ακτίνα $\sqrt {a^2 - m}$ .
● Αν $a^2 \ne b^2$ ή $b^2 \ne c^2$ ή $c^2 \ne a^2$ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ελλειψοειδές με κέντρο Ο(0,0,0), άξονες πάνω στους άξονες x΄x, y΄y και z΄z και μήκη αξόνων $2\alpha = 2\sqrt {a^2 - m}$ , $2\beta = 2\sqrt {b^2 - m}$ και $2\gamma = 2\sqrt {c^2 - m}$ αντίστοιχα. Ειδικά αν $a^2 = b^2 \ne c^2$ ή $b^2 = c^2 \ne a^2$ ή $c^2 = a^2 \ne b^2$ το ελλειψοειδές είναι εκ περιστροφής με άξονα περιστροφής τον z΄z ή τον x΄x ή τον y΄y αντίστοιχα.
▪ Αν a^2 - m > b^2 - m > c^2 - m > 0

, δηλ.

, τότε η τομή του παραπάνω ελλειψοειδούς με το επίπεδο z=0 είναι έλλειψη με εστίες $E'_1 ( - \gamma _1 ,0,0)$ , $E_1 (\gamma _1 ,0,0)$ , όπου $\gamma _1 = \sqrt {(\sqrt {a^2 - m} )^2 - (\sqrt {b^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _1 = \sqrt {a^2 - b^2 }$ , η τομή του παραπάνω ελλειψοειδούς με το επίπεδο y=0 είναι έλλειψη με εστίες $E'_2 ( - \gamma _2 ,0,0)$ , $E_2 (\gamma _2 ,0,0)$ , όπου $\gamma _2 = \sqrt {(\sqrt {a^2 - m} )^2 - (\sqrt {c^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _2 = \sqrt {a^2 - c^2 }$ , ενώ η τομή του παραπάνω ελλειψοειδούς με το επίπεδο x=0 είναι έλλειψη με εστίες $E'_3 (0, - \gamma _3 ,0)$ , $E_3 (0,\gamma _3 ,0)$ , όπου $\gamma _3 = \sqrt {(\sqrt {b^2 - m} )^2 - (\sqrt {c^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _3 = \sqrt {b^2 - c^2 }$ .
▪ Αν η διάταξη των θετικών a^2 - m,b^2 - m,c^2 - m

είναι διαφορετική, τα συμπεράσματα είναι ανάλογα.

1β περίπτωση: Από τους αριθμούς a^2 - m,b^2 - m,c^2 - m

δύο είναι αρνητικοί και ένας θετικός.
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι a^2 - m < 0

και

. Τότε η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δίχωνο υπερβολοειδές με κέντρο Ο(0,0,0) και άξονα τον z΄z. Ειδικά αν a^2 = b^2

το δίχωνο υπερβολοειδές είναι εκ περιστροφής με άξονα περιστροφής τον z΄z .
▪ Αν a^2 - m < b^2 - m < 0 < c^2 - m

, οπότε

, η τομή του παραπάνω δίχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο y=0 είναι υπερβολή με εστίες $E'_2 (0,0, - \gamma _2 )$ , $E_2 (0,0,\gamma _2 )$ , όπου $\gamma _2 = \sqrt {(\sqrt {m - a^2 } )^2 + (\sqrt {c^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _2 = \sqrt {c^2 - a^2 }$ , ενώ η τομή του παραπάνω δίχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο x=0 είναι υπερβολή με εστίες $E'_3 (0,0, - \gamma _3 )$ , $E_3 (0,0,\gamma _3 )$ , όπου $\gamma _3 = \sqrt {(\sqrt {m - b^2 } )^2 + (\sqrt {c^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _3 = \sqrt {c^2 - b^2 }$ .
▪ Αν η διάταξη των αρνητικών a^2 - m,b^2 - m

είναι διαφορετική, τα συμπεράσματα είναι ανάλογα.

2η περίπτωση: (a^2 - m)(b^2 - m)(c^2 - m) < 0

.

2α περίπτωση: Οι αριθμοί a^2 - m,b^2 - m,c^2 - m

είναι και οι τρεις αρνητικοί.
Τότε η παραπάνω εξίσωση είναι προφανώς αδύνατη.

2β περίπτωση: Από τους αριθμούς a^2 - m,b^2 - m,c^2 - m

δύο είναι θετικοί και ένας αρνητικός.
Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι a^2 - m > 0

και

. Τότε η παραπάνω εξίσωση παριστάνει μονόχωνο υπερβολοειδές με κέντρο Ο(0,0,0), λαιμό πάνω στο επίπεδο xOy και άξονα τον z΄z. Ειδικά αν a^2 = b^2

το μονόχωνο υπερβολοειδές είναι εκ περιστροφής με άξονα περιστροφής τον z΄z .
▪ Αν a^2 - m > b^2 - m > 0 > c^2 - m

, οπότε

, ο λαιμός του παραπάνω μονόχωνου υπερβολοειδούς είναι έλλειψη με εστίες $E'_1 ( - \gamma _1 ,0,0)$ , $E_1 (\gamma _1 ,0,0)$ , όπου $\gamma _1 = \sqrt {(\sqrt {a^2 - m} )^2 - (\sqrt {b^2 - m} )^2 }$ δηλ. $\gamma _1 = \sqrt {a^2 - b^2 }$ , η τομή του παραπάνω μονόχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο y=0 είναι υπερβολή με εστίες $E'_2 ( - \gamma _2 ,0,0)$ , $E_2 (\gamma _2 ,0,0)$ , όπου $\gamma _2 = \sqrt {(\sqrt {a^2 - m} )^2 + (\sqrt {m - c^2 } )^2 }$ δηλ. $\gamma _2 = \sqrt {a^2 - c^2 }$ , ενώ η τομή του παραπάνω μονόχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο x=0 είναι υπερβολή με εστίες $E'_3 (0, - \gamma _3 ,0)$ , $E_3 (0,\gamma _3 ,0)$ , όπου $\gamma _3 = \sqrt {(\sqrt {b^2 - m} )^2 + (\sqrt {m - c^2 } )^2 }$ δηλ. $\gamma _3 = \sqrt {b^2 - c^2 }$ .
▪ Αν η διάταξη των θετικών a^2 - m,b^2 - m

είναι διαφορετική, τα συμπεράσματα είναι ανάλογα.

Συνοψίζοντας:
● Αν $a^2 \ne b^2 \ne c^2 \ne a^2$ και $m < \min \{ a^2 ,b^2 ,c^2 \}$ , η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ελλειψοειδές, του οποίου οι τομές με τα συντεταγμένα επίπεδα είναι ελλείψεις με εστίες, που έχουν συντεταγμένες ανεξάρτητες από την τιμή της παραμέτρου m.
● Αν $a^2 \ne b^2 \ne c^2 \ne a^2$ και $m > \min \{ a^2 ,b^2 ,c^2 \}$ και m μικρότερο από τα άλλα δύο στοιχεία του συνόλου $\{ a^2 ,b^2 ,c^2 \}$ , η παραπάνω εξίσωση παριστάνει μονόχωνο υπερβολοειδές, του οποίου οι τομές με τα συντεταγμένα επίπεδα είναι έλλειψη και υπερβολές με εστίες, που έχουν συντεταγμένες ανεξάρτητες από την τιμή της παραμέτρου m.
● Αν $a^2 \ne b^2 \ne c^2 \ne a^2$ και m μεγαλύτερο από τα δύο στοιχεία του συνόλου $\{ a^2 ,b^2 ,c^2 \}$ και $m < \max \{ a^2 ,b^2 ,c^2 \}$ , η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δίχωνο υπερβολοειδές, του οποίου οι τομές με τα συντεταγμένα επίπεδα είναι υπερβολές με εστίες, που έχουν συντεταγμένες ανεξάρτητες από την τιμή της παραμέτρου m.

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι ισχύει a^2 > b^2 > c^2

και ας είναι $m_1 ,m_2 ,m_3 \;(m_1 \ne m_2 \ne m_3 \ne m_1 )$ τρεις τιμές της παραμέτρου m, ώστε
a^2 > b^2 > c^2 > m_1

και

.

Έστω $C_1 :\frac{{x^2 }}{{a^2 - m_1 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 - m_1 }} + \frac{{z^2 }}{{c^2 - m_1 }} = 1$ (ελλειψοειδές) και
$C_2 :\frac{{x^2 }}{{a^2 - m_2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 - m_2 }} + \frac{{z^2 }}{{c^2 - m_2 }} = 1$ (μονόχωνο υπερβολοειδές)
$C_3 :\frac{{x^2 }}{{a^2 - m_3 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 - m_3 }} + \frac{{z^2 }}{{c^2 - m_3 }} = 1$ (δίχωνο υπερβολοειδές)

Οι τρεις επιφάνειες δεύτερης τάξης τέμνονται αν και μόνον αν το σύστημα

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )x^2 + (a^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )y^2 + (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )z^2 = (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} \\ {(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )x^2 + (a^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )y^2 + (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )z^2 = (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} \\ {(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )x^2 + (a^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )y^2 + (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )z^2 = (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} \\ \end{array}} \right.$

θεωρώντας το γραμμικό ως προς τους αγνώστους $x^2 ,\;y^2 \;\kappa \alpha \iota \;z^2$ έχει λύση (x_0^2 ,y_0^2 ,z_0^2 )

με $x_0^2 > 0,\;y_0^2 > 0,z_0^2 > 0$ .

Μετά από απλές πράξεις προκύπτει ότι για το παραπάνω σύστημα ισχύει

$D = \left| {\begin{array}{*{20}c} {(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )} \\ {(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )} \\ {(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )} \\ \end{array}} \right|$
$D_{x^2 } = \left| {\begin{array}{*{20}c} {(a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )} \\ {(a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )} \\ {(a^2 - m_2 )(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )} \\ \end{array}} \right|$
$D_{y^2 } = \left| {\begin{array}{*{20}c} {(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )} \\ {(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )} \\ {(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )} \\ \end{array}} \right|$
$D_{z^2 } = \left| {\begin{array}{*{20}c} {(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} & {\quad (a^2 - m_1 )(b^2 - m_1 )(c^2 - m_1 )} \\ {(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} & {\quad (a^2 - m_2 )(b^2 - m_2 )(c^2 - m_2 )} \\ {(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} & {\quad (a^2 - m_3 )(b^2 - m_3 )(c^2 - m_3 )} \\ \end{array}} \right|$

δηλ.

D = (a^2 - b^2 )(b^2 - c^2 )(a^2 - c^2 )(m_3 - m_2 )(m_3 - m_1 )(m_2 - m_1 )

$D_{x^2 } = (b^2 - c^2 )(a^2 - m_1 )(a^2 - m_2 )(a^2 - m_3 )(m_3 - m_2 )(m_3 - m_1 )(m_2 - m_1 )$
$D_{y^2 } = - (a^2 - c^2 )(b^2 - m_1 )(b^2 - m_2 )(b^2 - m_3 )(m_3 - m_2 )(m_3 - m_1 )(m_2 - m_1 )$
$D_{z^2 } = (a^2 - b^2 )(c^2 - m_1 )(c^2 - m_2 )(c^2 - m_3 )(m_3 - m_2 )(m_3 - m_1 )(m_2 - m_1 )$

Τότε ισχύει

$x_0^2 = \frac{{D_{x^2 } }}{D} = \frac{{(a^2 - m_1 )(a^2 - m_2 )(a^2 - m_3 )}}{{(a^2 - b^2 )(a^2 - c^2 )}}$ ,
$y_0^2 = \frac{{D_{y^2 } }}{D} = \frac{{ - (b^2 - m_1 )(b^2 - m_2 )(b^2 - m_3 )}}{{(a^2 - b^2 )(b^2 - c^2 )}}$ και (1)
$z_0^2 = \frac{{D_{z^2 } }}{D} = \frac{{(c^2 - m_1 )(c^2 - m_2 )(c^2 - m_3 )}}{{(b^2 - c^2 )(a^2 - c^2 )}}$ .

Τότε στο τυχόν κοινό σημείο (x_0 ,y_0 ,z_0 )

των

το εφαπτόμενο επίπεδο της C_1

θα έχει εξίσωση $\varepsilon _1 :\frac{{xx_0 }}{{a^2 - m_1 }} + \frac{{yy_0 }}{{b^2 - m_1 }} + \frac{{zz_0 }}{{c^2 - m_1 }} = 1$ ,
το εφαπτόμενο επίπεδο της C_2

θα έχει εξίσωση $\varepsilon _2 :\frac{{xx_0 }}{{a^2 - m_2 }} + \frac{{yy_0 }}{{b^2 - m_2 }} + \frac{{zz_0 }}{{c^2 - m_2 }} = 1$ ,
ενώ
το εφαπτόμενο επίπεδο της C_3

θα έχει εξίσωση $\varepsilon _3 :\frac{{xx_0 }}{{a^2 - m_3 }} + \frac{{yy_0 }}{{b^2 - m_3 }} + \frac{{zz_0 }}{{c^2 - m_3 }} = 1$ .

Τότε το διάνυσμα $\vec \alpha _1 = \left( {\frac{{x_0 }}{{a^2 - m_1 }},\frac{{y_0 }}{{b^2 - m_1 }},\frac{{z_0 }}{{c^2 - m_1 }}} \right)$ είναι κάθετο στο επίπεδο $\varepsilon _1$ , το διάνυσμα $\vec \alpha _2 = \left( {\frac{{x_0 }}{{a^2 - m_2 }},\frac{{y_0 }}{{b^2 - m_2 }},\frac{{z_0 }}{{c^2 - m_2 }}} \right)$ είναι κάθετο στο επίπεδο $\varepsilon _2$ , ενώ
το διάνυσμα $\vec \alpha _3 = \left( {\frac{{x_0 }}{{a^2 - m_3 }},\frac{{y_0 }}{{b^2 - m_3 }},\frac{{z_0 }}{{c^2 - m_3 }}} \right)$ είναι κάθετο στο επίπεδο $\varepsilon _3$ .
Όμως, $\vec \alpha _1 \cdot \vec \alpha _2 = \frac{{x_0^2 }}{{(a^2 - m_1 )(a^2 - m_2 )}} + \frac{{y_0^2 }}{{(b^2 - m_1 )(b^2 - m_2 )}} + \frac{{z_0^2 }}{{(c^2 - m_1 )(c^2 - m_2 )}}$ , οπότε από τις σχέσεις (1) προκύπτει $\vec \alpha _1 \cdot \vec \alpha _2 = 0$ .
Άρα, τα επίπεδα $\varepsilon _1 ,\varepsilon _2$ τέμνονται κάθετα, επομένως και οι επιφάνειες C_1 ,C_2

τέμνονται κάθετα. Ομοίως προκύπτει ότι και οι επιφάνειες C_2 ,C_3

τέμνονται κάθετα και οι επιφάνειες C_1 ,C_3

τέμνονται κάθετα

Ορθογώνιες επιφάνειες!

Ορθογώνιες επιφάνειες!

Re: Ορθογώνιες επιφάνειες!

Μέλη σε σύνδεση