Στην μοναδιαία σφαίρα

Συντονιστής: matha

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2454
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Στην μοναδιαία σφαίρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Νοέμ 09, 2017 7:13 am

\displaystyle{\Bbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3/x^2+y^2+z^2=1\}}.

Αν \displaystyle{f:\Bbb{S}^2 \to \Bbb{S}^2}, συνεχής με \displaystyle{f(x) \neq f(-x)}, για κάθε \displaystyle{x \in \Bbb{S}^2}, να αποδειχθεί ότι η \displaystyle{f} είναι επί.


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Στην μοναδιαία σφαίρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Παρ Νοέμ 10, 2017 10:31 pm

Θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Borsuk-Ulam, σύμφωνα με το οποίο αν h : \Bbb{S}^n \to \mathbb{R}^n είναι συνεχής συνάρτηση, τότε υπάρχει x \in \Bbb{S}^n τέτοιο, ώστε h(x)=h(-x).

Υποθέτουμε ότι f : \Bbb{S}^n \to \Bbb{S}^n είναι μια συνεχής συνάρτηση με f(-x) \ne f(x) για κάθε x \in \Bbb{S}^n και ότι υπάρχει σημείο p \in \Bbb{S}^n \setminus f(\Bbb{S}^n). Θεωρούμε τη στερεογραφική προβολή g : \Bbb{S}^n \setminus \{p\} \to \mathbb{R}^n, η οποία είναι συνεχής, 1-1 και επί. Τότε, η h= g\circ f: \Bbb{S}^n \to \mathbb{R}^n είναι καλά ορισμένη και συνεχής. Από το Θεώρημα Borsuk-Ulam, θα υπάρχει x \in \Bbb{S}^n τέτοιο, ώστε
h\left( x \right) = h\left( { - x} \right) \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {f\left( { - x} \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right). Αυτό, όμως, είναι άτοπο, οπότε το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης