Στροφή ευθείας σε ευθεία
Συντονιστής: matha
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Στροφή ευθείας σε ευθεία
Με αφορμή αυτό:
Να υπολογισθεί η γωνία στροφής, περί άξονα , ευθείας σε ευθεία (συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων των τριών ευθειών για παράδειγμα).
Γιώργος Μπαλόγλου
Να υπολογισθεί η γωνία στροφής, περί άξονα , ευθείας σε ευθεία (συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων των τριών ευθειών για παράδειγμα).
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία
Έστω τα μοναδιαία διανύσματα των και αντίστοιχα.
Ας θυμηθούμε (*) ότι ο τύπος της περιστροφής κατά γωνία γύρω από τον άξονα είναι
Άρα
Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το και από τις δύο πλευρές έχουμε
Επομένως είναι
Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται (από Cauchy-Schwarz) εκτός και αν ο άξονας και η ευθεία ταυτίζονται.
Επίσης παίρνοντας στην προηγούμενη εξίσωση εσωτερικό γινόμενο με το και καταλήγουμε στο
Τα πρόσημα των και θα μας δώσουν και σε πιο τετραρτημόριο ανοίκει η γωνία οπότε θα την έχουμε προσδιορίσει πλήρως.
(*) Εδώ ζητώ να αποδειχθεί αυτός ο τύπος.
Ας θυμηθούμε (*) ότι ο τύπος της περιστροφής κατά γωνία γύρω από τον άξονα είναι
Άρα
Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το και από τις δύο πλευρές έχουμε
Επομένως είναι
Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται (από Cauchy-Schwarz) εκτός και αν ο άξονας και η ευθεία ταυτίζονται.
Επίσης παίρνοντας στην προηγούμενη εξίσωση εσωτερικό γινόμενο με το και καταλήγουμε στο
Τα πρόσημα των και θα μας δώσουν και σε πιο τετραρτημόριο ανοίκει η γωνία οπότε θα την έχουμε προσδιορίσει πλήρως.
(*) Εδώ ζητώ να αποδειχθεί αυτός ο τύπος.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3342
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία
Δεν θυμάμαι τι ακριβώς είχα κατά νου πριν τρία χρόνια, και γιατί δεν δημοσίευσα τότε την όποια λύση μου (σίγουρα διαφορετική από την λύση του Δημήτρη). Με την ευκαιρία της έμμεσης ανακίνησης του θέματος από τον Σταύρο (εδώ) επανέρχομαι:
Αν η γωνία στροφής, η γωνία ανάμεσα στις και , και η γωνία ανάμεσα στις και (που είναι βέβαια ίδια με την γωνία ανάμεσα στις και ), τότε
Όλα ανάγονται στο συνημμένο σχήμα και σε εφαρμογή του Νόμου Συνημιτόνων στα τρίγωνα και , όπου , οι προβολές των , επί του καθέτου προς την επιπέδου και , , : πράγματι, από τις και προκύπτει ο παραπάνω τύπος.
Αν η γωνία στροφής, η γωνία ανάμεσα στις και , και η γωνία ανάμεσα στις και (που είναι βέβαια ίδια με την γωνία ανάμεσα στις και ), τότε
Όλα ανάγονται στο συνημμένο σχήμα και σε εφαρμογή του Νόμου Συνημιτόνων στα τρίγωνα και , όπου , οι προβολές των , επί του καθέτου προς την επιπέδου και , , : πράγματι, από τις και προκύπτει ο παραπάνω τύπος.
- Συνημμένα
-
- Lεε'.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες