Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

#1

Έστω

μια κανονική επιφάνεια του $\mathbb{R}^3$ . Να αποδειχθεί ότι αν όλα τα εφαπτόμενα επίπεδα της

διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε η καμπυλότητα Gauss

της

είναι παντού μηδενική.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θα δείξω κάτι ισχυρότερο.
Η επιφάνεια είναι τμήμα επιπέδου.
Υποθέτοντας ότι η επιφάνεια είναι συνεκτική αρκεί να δείξουμε ότι τοπικά είναι τμήμα επιπέδου.
Τοπικά η επιφάνεια είναι γράφημα συνάρτησης.
Εστω X(x,y)=(x,y,f(x,y))

η τοπική παράσταση της.
Το εφαπτόμενο επίπεδο έχει εξίσωση (G-X(x,y))N=0

όπου

το κάθετο διάνυσμα και $G\epsilon \mathbb{R}^{3}$
Αφου περνάει από το (0,0,0)

πέρνουμαι

Η τελευταία σχέση μας δίνει ότι το

είναι γραμμικός συνδιασμός των $X_{x},X_{y}$
Αρα $X(x,y)=g(x,y)X_{x}(x,y)+q(x,y)X_{y}(x,y)$
Από την τελευταία παίρνουμε $f(x,y)=xf_{x}(x,y)+yf_{y}(x,y)$
Η τελευταία είναι γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης.
Λύνοντας έχουμε f(x,y)=cx+dy

Αρα

που δίνει το ζητούμενο.

Συμπλήρωση.Υπάρχει ΛΑΘΟΣ.Το λάθος βρίσκεται στο ότι η διαφορική εξίσωση έχει και άλλες λύσεις.

#3

Σταύρο, ωραία λύση. Ακόμα μια:

Έστω σημείο $p\in S$ που δεν είναι η αρχή των αξόνων με $K(p)\neq0$ . Έστω ${\bf{X}}(u,v)\,,\; (u,v)\in U\subset\mathbb{R}^2$ σύστημα συντεταγμένων γύρω από το

. Επειδή το εφαπτόμενο επίπεδο T_p(S)

διέρχεται από την αρχή των αξόνων, έπεται ότι ${\bf{X}}\cdot{\bf{N}}=0$ , δηλαδή ${\bf{X}}\in T_p(S)$ .
Επίσης

$\begin{aligned} {\bf{X}}\cdot{\bf{N}}=0\quad&\Rightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} \cancelto{0}{{\bf{X}}_u\cdot{\bf{N}}}+{\bf{X}}\cdot{\bf{N}}_u=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \cancelto{0}{{\bf{X}}_v\cdot{\bf{N}}}+{\bf{X}}\cdot{\bf{N}}_v=0\end{array}\right.\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} {\bf{X}}\cdot{\bf{N}}_u=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} {\bf{X}}\cdot{\bf{N}}_v=0\end{array}\right.\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Rightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} {\bf{X}}\perp{\bf{N}}_u\\\noalign{\vspace{0.1cm}} {\bf{X}}\perp{\bf{N}}_v\end{array}\right. \end{aligned}$

Θεωρώντας σαν βάση του T_p(S)

το σύνολο $\{{\bf{X}}_u,\,{\bf{X}}_v\}$ , προκύπτουν

$\det({\bf{N}}_u, {\bf{N}}_v)=\det\big(d{\bf{N}}_{p}({\bf{X}}_u), d{\bf{N}}_{p}({\bf{X}}_v)\big)=\det(d{\bf{N}}_p)=K\neq0$

και, επομένως, τα ${\bf{N}}_u$ , ${\bf{N}}_v$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Αλλά τότε, από την καθετότητα του ${\bf{X}}$ με τα ${\bf{N}}_u$ , ${\bf{N}}_v$ , προκύπτει ότι ${\bf{X}}={\bf{0}}$ . Άτοπο. Κι αυτό γιατί θεωρήσαμε $K\neq0$ . Άρα σε κάθε σημείο $p\in S$ ισχύει $K\equiv 0$ .

Υ.Γ. Το ότι η επιφάνεια τοπικά ισομετρική με τμήμα επιπέδου μπορεί να προκύψει κι από το Έξοχο Θεώρημα του Gauss.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Γεια σου Γρηγόρη.
Και εγώ στην αρχή ξεκίνησα να κάνω λύση στην μορφή της δική σου.
Μετά όμως βλέποντας την γεωμετρία του προβλήματος κατέληξα ότι είναι επίπεδο.
Πάντως είναι ωραία γιατί είναι χαρακτηρισμός του επίπεδου.
Δεν την έχω ξαναδεί(η την έχω ξεχάσει)
Συμπλήρωση.
ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΟ ότι είναι χαρακτηρισμός επιπέδου.Οπως αναφέρει και ο Γιώργος παρακάτω και τμήμα κώνου έχει
αυτή την ιδιότητα.Αρα την ΠΑΤΗΣΑ,

#5

Εποπτικά -- και ίσως όχι πολύ αυστηρά -- το βλέπω ως εξής: εργαζόμενοι πρώτα στο επίπεδο, παρατηρούμε -- λήμμα -- ότι μία καμπύλη της οποίας η εφαπτόμενη σε κάθε σημείο περνά από την αρχή των αξόνων οφείλει να είναι ευθεία (διαφορική εξίσωση y=y'x

, κλπ*)^ τέμνοντας τώρα την δοθείσα επιφάνεια με κάθε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο

που περιέχει τον άξονα των

λαμβάνουμε, σε κάθε ένα από τα κάθετα επίπεδα, καμπύλη με την ιδιότητα του λήμματος, άρα ευθεία γραμμή.

Καταλήξαμε λοιπόν σε μία επιφάνεια αποτελούμενη από ευθείες γραμμές που συγκλίνουν στην αρχή των αξόνων. Παράδειγμα τέτοιας επιφάνειας αποτελεί το κάθε ζεύγος κατά κορυφήν κώνων, χωρίς όμως εφαπτόμενο επίπεδο (διαφορισιμότητα) στην αρχή των αξόνων. Παρατηρούμε εδώ ότι διαφορισιμότητα σε τυχόν σημείο μιας καμπύλης σημαίνει ότι ... για κάθε δύο εφαπτόμενες ευθείες στο συγκεκριμένο σημείο όλες οι άλλες εφαπτόμενες κείνται στο επίπεδο που αυτές ορίζουν -- αλλιώς δεν θα υπήρχε εφαπτόμενο επίπεδο στο συγκεκριμένο σημείο. Αυτή η συνθήκη διαφορισιμότητας και το γεγονός ότι η επιφάνεια μας αποτελείται από συγκλίνουσες ευθείες εξασφαλίζουν, μαζί με την διαφορισιμότητα στο σημείο σύγκλισης (αρχή των αξόνων), ότι η επιφάνεια μας είναι επίπεδο (διερχόμενο από την αρχή των αξόνων).

*ας το δούμε αυτό (το δισδιάστατο λήμμα) και πιο εποπτικά (αλλά όχι αυστηρά): αν η κλίση της καμπύλης αλλάζει γύρω από το σημείο επαφής x_0

(στο οποίο η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων) ... τότε αν είναι τοπικά κυρτή (και πάνω από την εφαπτόμενη στο x_0

) οι εφαπτόμενες σε σημεία αριστερά του x_0

τέμνουν τον άξονα των

πάνω από το (0, 0)

και οι εφαπτόμενες σε σημεία δεξιά του x_0

τέμνουν τον άξονα των

κάτω από το (0, 0)

, ενώ αν είναι τοπικά κοίλη (και κάτω από την εφαπτόμενη στο x_0

) τότε συμβαίνουν ακριβώς τα αντίθετα. (Τώρα αν η κυρτότητα/κοιλότητα μεταβάλλεται συνεχώς γύρω από το x_0

... δεν βλέπω τρόπο διαφυγής...)

#6

gbaloglou έγραψε: *ας το δούμε αυτό (το δισδιάστατο λήμμα) και πιο εποπτικά (αλλά όχι αυστηρά): αν η κλίση της καμπύλης αλλάζει γύρω από το σημείο επαφής (στο οποίο η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων) ... τότε αν είναι τοπικά κυρτή (και πάνω από την εφαπτόμενη στο ) οι εφαπτόμενες σε σημεία αριστερά του τέμνουν τον άξονα των πάνω από το και οι εφαπτόμενες σε σημεία δεξιά του τέμνουν τον άξονα των κάτω από το , ενώ αν είναι τοπικά κοίλη (και κάτω από την εφαπτόμενη στο ) τότε συμβαίνουν ακριβώς τα αντίθετα. (Τώρα αν η κυρτότητα/κοιλότητα μεταβάλλεται συνεχώς γύρω από το ... δεν βλέπω τρόπο διαφυγής...)

Μπορεί να γίνει κάτι καλύτερο (πέρα από επίλυση της απλής διαφορικής εξίσωσης y=y'x

, που ήδη ανέφερα);

[Θυμίζω ότι το θέμα μας εδώ είναι η δισδιάστατη παραλλαγή -- και κατ' εμέ αναγωγή -- του αρχικού θέματος, δηλαδή: αν όλες οι εφαπτόμενες μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης διέρχονται από την αρχή των αξόνων, τότε αυτή είναι ευθεία γραμμή.]

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Επανέρχομαι γιατί στα προηγούμενα post μου έκανα παιδαριώδη ΛΑΘΗ.
Η διαφορική εξίσωση $f(x,y)=xf_{x}(x,y)+yf_{y}(x,y)$
έχει και άλλες λύσεις εκτός από αυτές που περιέγραψα πιο πάνω.
Θέτοντας f(x,y)=z

είναι ισοδύναμη με το
$\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$
Από την $\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}$
παίρνουμε ότι lnz=lnx+c

δηλαδή $\frac{z}{x}=c_{1}$
Από την $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$
παίρνουμε lnx=lny+c

δηλαδή $\frac{y}{x}=c_{2}$
Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι
$G(c_{1},c_{2})=0$
όπου G(x,y)

αυθαίρετη ομαλή συνάρτηση.
Τελικά έχουμε ότι $G(\frac{z}{x},\frac{y}{x})$ =0
Η τελευταία μας δίνει (με κάποιους περιορισμούς) την γενική λύση της Δ.Ε

Θα επανέλθω σύντομα να συνεχίσω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Εχουμε $G(\frac{z}{x},\frac{y}{x})=0$ υποθέτοντας οτι $x\neq 0$
Εφαρμόζωντας το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων έχουμε ότι
$\frac{z}{x}=q(\frac{y}{x})$ οπου q(t)

συνάρτηση
Αρα $f(x,y)=z=xq(\frac{y}{x})$
Εχουμε ότι αν X(x,y)=(x,y,f(x,y))

τότε η καμπυλότητα Gauss είναι 0 αν και μόνο αν
$f_{xx}f_{yy}=(f_{xy})^{2}$
Η μορφή της

ικανοποιεί την τελευταία .
Αρα η καμπυλότητα Gauss είναι 0.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Ας δούμε μια άλλη λύση.
Εστω X(u,v)

κανονική παραμέτριση της επιφάνειας τοπικά.
Αν E,G,F ,L,M,N

τα θεμελειώδη μεγέθη της πρώτης και δεύτερης μορφής
τότε η καμπυλότητα Gauss είναι $K=\frac{LN-M^{2}}{EG-F^{2}}$
Αλλά $L=\frac{X_{uu}X_{u}X_{v}}{C},N=\frac{X_{vv}X_{u}X_{v}}{C},M=\frac{X_{uv}X_{u}X_{v}}{C},$
όπου $C=\sqrt{EG-F^{2}}$ και για τα διανύσματα έχουμε μικτό γινόμενο.
Λόγω της υπόθεσης $X=rX_{u}+sX_{v}$
παραγωγίζοντας ως προς

παίρνουμε οτι
$X_{u}=r_{u}X_{u}+rX_{uu}+s_{u}X_{v}+sX_{vu}$
πολλαπλασιάζοντας με $X_{u},X_{v}$ ώστε να έχουμε μικτό γινόμενο
παίρνουμε r(CL)+s(CM)=0 (1)

παραγωγίζοντας ως προς την άλλη μεταβλητή και κάνοντας τα ίδια
έχουμε r(CM)+s(CN)=0 (2)

Αν θεωρήσουμε τις (1),(2) σαν γραμμικό σύστημα με αγνώστους τις συναρτήσεις r,s

και υποθέτοντας ότι $X\neq 0$ έχει μη μηδενικές λύσεις
προκύπτει ότι $LN-M^{2}=0$ .Αρα K=0

Αν

αυτό θα συμβαίνει το πολύ σε ένα σημείο.
Από συνέχεια της καμπυλότητας και εκεί θα έχουμε K=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Να την λύσουμε χρησιμοποιώντας την διαφορική εξίσωση χωρίς όμως να χρησιμοποιήσουμε τις λύσεις της.
Εχουμε X(x,y)=(x,y,f(x,y))

όπου $f=xf_{x}+yf_{y}$
παραγωγίζοντας ως προς

παίρνουμε
$f_{y}=xf_{xy}+f_{y}+yf_{yy}$

και ως

παίρνουμε $f_{y}=xf_{xy}+f_{y}+yf_{yy}$
το γραμμικό σύστημα $xf_{xx}+yf_{xy}=0,xf_{xy}+yf_{yy}=0$
με αγνώστους τα x,y

έχει μη μηδενικές λύσεις εκτός αν x=y=0

Αρα $(f_{xy})^{2}=f_{xx}f_{yy}$ που δίνει καμπυλότητα Gauss 0.
Στο σημείο που πιθανόν μένει χρησιμοποιούμε την συνέχεια της καμπυλότητας.

Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Re: Εφαπτόμενα επίπεδα επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση