Δομή διανυσματικού χώρου

BAGGP93 · #1

.Έστωσαν $\displaystyle{A}$ ένα μη κενό σύνολο και $\displaystyle{\mathcal{F}}$ μια μη-κενή οικογένεια από $\displaystyle{1-1}$

και επί απεικονίσεις $\displaystyle{f:A\to \mathbb{R}^n}$ τέτοια, ώστε : αν $\displaystyle{f\,,g\in\mathcal{F}}$ , τότε η απεικόνιση

$\displaystyle{f\circ g^{-1}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n}$ είναι γραμμικός ισομορφισμός. Αποδείξτε ότι το $\displaystyle{A}$

επιδέχεται (μονοσήμαντα) δομή πραγματικού διανυσματικού χώρου και κάθε $\displaystyle{f\in\mathcal{F}}$ είναι γραμμικός ισομορφισμός.

Ερώτηση : Όρισα πρόσθεση και εξωτερικό γινόμενο δοθείσης $\displaystyle{f\in\mathcal{F}}$ . Το μονοσήμαντα έγκειται σε αυτό ; Δηλαδή,

αν πάρω άλλη $\displaystyle{g\in\mathcal{F}}$ , τότε πρέπει να δείξω ότι το άθροισμα και το βαθμωτό γινόμενο (μηδενικό, αντίστροφο) διατηρούνται ;

Αυτό έκανα.

Αν όχι, τότε το "μονοσήμαντα", που έγκειται ;

Γράφω και τις απεικονίσεις :

Αν $\displaystyle{f\in\mathcal{F}}$ , τότε ορίζουμε :

$\displaystyle{\oplus:A\times A\to A\,\,,(x,y)\mapsto x\oplus y:=f^{-1}(f(x)+f(y))}$

$\displaystyle{\star:\mathbb{R}\times A\to A\,,(k,x)\mapsto k\star x:=f^{-1}(k\,f(x))}$ .

Σχόλιο: Όπως λέει και η ετικέτα, μια ειδική περίπτωση της παραπάνω άσκησης, είναι η κατασκευή του εφαπτόμενου επιπέδου σε ένα σημείο

μια διαφορίσιμης πολλαπλότητας.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Καλημέρα Ευάγγελε.
Κατά αρχήν μια παρατήρηση ορολογίας.
Δεν είναι δόκιμο να λέμε τον πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό εξωτερικό γινόμενο.
(πως θα πούμε τότε το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων)

Στην ουσία.
Μια μόνο

ορίζει στο

δομή διανυσματικού χώρου.(όπως το όρισες)
Και είναι μοναδική όταν η

είναι ισομορφισμός.(Εύκολο να το δείξεις)
Εκείνο που πρέπει να δείξεις είναι ότι και η δομή διανυσματικού χώρου που ορίζει
μια

είναι ίδια.
Αυτά μόνο.

BAGGP93 · #3

Παραθέτω αυτά που έγραψα.

Έχουμε ορίσει για δοθείσα $\displaystyle{f}$ πρόσθεση στο $\displaystyle{A}$ και βαθμωτό γινόμενο με πραγματικό αριθμό.

Έυκολα προκύπτουν όλες οι ιδιότητες. Γράφω την ύπαρξη μηδενικού στοιχείου και την εύρεση αντιστρόφου.

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 και επί υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{a_0\in A}$ ώστε $\displaystyle{f(a_0)=0}$ . Τότε

για κάθε $\displaystyle{x\in A}$ έχουμε $\displaystyle{a_0\oplus x=x\oplus a_0=f^{-1}(f(x)+f(a_0))=f^{-1}(f(x))=x}$ .

Έστω $\displaystyle{x\in A}$ . Τότε, $\displaystyle{f(x)\in \mathbb{R}^n\implies -f(x)\in\mathbb{R}^n}$ και υπάρχει μοναδικό

$\displaystyle{x'\in A}$ ώστε $\displaystyle{f(x')=-f(x)}$ , οπότε

$\displaystyle{x'\oplus x=x\oplus x'=f^{-1}(f(x)+f(x'))=f^{-1}(0)=a_0}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{g\in\mathcal{F}}$ και ορίζουμε όπως παραπάνω

$\displaystyle{+:A\times A\to A\,,x+y:=g^{-1}(g(x)+g(y))\,\,\,\,,\cdot:\mathbb{R}\times A\to A\,,k\cdot x:=g^{-1}(k\,g(x))}$ .

Θα αποδείξουμε αρχικά ότι $\displaystyle{x+y=x\oplus y\,,\forall\,x\,,y\in A}$ και $\displaystyle{k\cdot x=k\star x\,,\forall\,k\in\mathbb{R}\,,\forall\,x\in A}$ .

Έχουμε υπ'όψιν ότι η $\displaystyle{f\circ g^{-1}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n}$ είναι γραμμικός ισομορφισμός.

Πράγματι, αν $\displaystyle{x\,,y\in A}$ και $\displaystyle{k\in\mathbb{R}}$ , τότε

$\displaystyle{\begin{aligned} x\oplus y=x+y&\iff f^{-1}(f(x)+f(y))=g^{-1}(g(x)+g(y))\\&\iff (f\circ g^{-1})(g(x)+g(y))=f(x)+f(y)\\&\iff (f\circ g^{-1}((g(x))+*f\circ g^{-1})(g(y))=f(x)+f(y)\\&\iff f(x)+f(y)=f(x)+f(y)\end{aligned}}$

και η τελευταία είναι αληθής.

Επίσης,

$\displaystyle{\begin{aligned} k\star x=k\cdot x&\iff f^{-1}(k\,f(x))=g^{-1}(k\,g(x))\\&\iff (f\circ g^{-1})(k\,g(x))=k\,f(x)\\&\iff k\,(f\circ g^{-1})(g(x))=k\,f(x)\\&\iff k\,f(x)=k\,f(x)\end{aligned}}$

και η τελευταία είναι αληθής.

Υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{b_0\in A}$ (το μηδενικό στη νέα δομή) ώστε $\displaystyle{g(b_0)=0}$ . Έτσι,

$\displaystyle{(f\circ g^{-1})(0)=0\implies f(g^{-1}(0))=f(a)\implies f(b_0)=f(a_0)\implies b_0=a_0}$ . Όμοια για το αντίστροφο.

Άρα, οι δομές είναι ίδιες.

Τώρα, αν $\displaystyle{f\in\mathcal{F}}$ , έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}f(x\oplus (k\star y))&=f(x\oplus f^{-1}(k\,f(y)))\\&=f(f^{-1}(f(x)+f(f^{-1}(k\,f(y))))\\&=f(f^{-1}(f(x)+k\,f(y)))\\&=f(x)+k\,f(y)\end{aligned}}$ ,

οπότε $\displaystyle{f}$ : ισομορφισμός.

Ευχαριστώ κύριε Στάυρο για την απάντηση. Έχω δείξει τα απαραίτητα ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πολύ σωστά Ευάγγελε.

Δομή διανυσματικού χώρου

Δομή διανυσματικού χώρου

Re: Δομή διανυσματικού χώρου

Re: Δομή διανυσματικού χώρου

Re: Δομή διανυσματικού χώρου

Μέλη σε σύνδεση