Μηδενική ορίζουσα

Συντονιστής: matha

Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #21 από Mathletic » Δευ Ιούλ 17, 2017 1:51 am

grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0). Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;


2 ευθείες είναι είτε παράλληλες ή έχουν κοινό σημείο.

Υποθέτουμε ότι οι ευθείες a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 και a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 έχουν ένα σημείο τομής, έστω το (x_0, y_0).

Έχουμε το εξής:
a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}=(\kappa a_{21}+\lambda a_{31})x_0+(\kappa a_{22}+\lambda a_{32})y_0+(\kappa a_{23}+\lambda a_{33}) \\  =\kappa ( a_{21}x_0+ a_{22}+y_0+ a_{23})+\lambda ( a_{31}x_0+ a_{32}y_0+a_{33}) \\  =0+0  =0
Άρα το (x_0, y_0) είναι το σημείο τομής και των 3 ευθειών.


Υποθέτουμε ότι οι ευθείες a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 και a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 είναι παράλληλες. Τότε τα κάθετα διάνυσματα είναι παράλληλα, άρα έχουμε ότι (a_{21}, a_{22})=\mu (a_{31},a_{32}).

Έχουμε ότι
(a_{11}, a_{12})=(\kappa a_{21}+\lambda a_{31},\kappa a_{22}+\lambda a_{32})=(\kappa \mu a_{31}+\lambda a_{31},\kappa \mu a_{32}+\lambda a_{32})  =(\kappa \mu +\lambda)(a_{31}, a_{32})

Άρα οι 3 ευθείες είναι παράλληλες.



Είναι όλα σωστά;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #22 από grigkost » Δευ Ιούλ 17, 2017 2:31 am

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι (a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0). Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;


2 ευθείες είναι είτε παράλληλες ή έχουν κοινό σημείο.

Υποθέτουμε ότι οι ευθείες a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 και a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 έχουν ένα σημείο τομής, έστω το (x_0, y_0).

Έχουμε το εξής:
a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}=(\kappa a_{21}+\lambda a_{31})x_0+(\kappa a_{22}+\lambda a_{32})y_0+(\kappa a_{23}+\lambda a_{33}) \\  =\kappa ( a_{21}x_0+ a_{22}+y_0+ a_{23})+\lambda ( a_{31}x_0+ a_{32}y_0+a_{33}) \\  =0+0  =0
Άρα το (x_0, y_0) είναι το σημείο τομής και των 3 ευθειών.


Υποθέτουμε ότι οι ευθείες a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 και a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 είναι παράλληλες. Τότε τα κάθετα διάνυσματα είναι παράλληλα, άρα έχουμε ότι (a_{21}, a_{22})=\mu (a_{31},a_{32}).

Έχουμε ότι
(a_{11}, a_{12})=(\kappa a_{21}+\lambda a_{31},\kappa a_{22}+\lambda a_{32})=(\kappa \mu a_{31}+\lambda a_{31},\kappa \mu a_{32}+\lambda a_{32})  =(\kappa \mu +\lambda)(a_{31}, a_{32})

Άρα οι 3 ευθείες είναι παράλληλες.



Είναι όλα σωστά;

Τα παραπάνω δεν έχουν κάποιο λάθος, αλλά δεν χρειάζονται! Πολύ απλά, αφού το διατεταγμένο ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις σημαίνει "γεωμετρικά" ότι είναι σημείο τομής των τριών ευθειών(*). Η περίπτωση \kappa=\lambda (επιστρέφοντας στο αρχικό σύστημα) δίνει ότι οι τρεις ευθείες είναι παράλληλες.

(*) το ότι το σημείο έχει συντεταγμένες \kappa,\,\lambda αντί για x_0,\,y_0 δεν αλλάζει κάτι.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mathletic
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #23 από Mathletic » Δευ Ιούλ 17, 2017 2:50 am

grigkost έγραψε:Τα παραπάνω δεν έχουν κάποιο λάθος, αλλά δεν χρειάζονται! Πολύ απλά, αφού το διατεταγμένο ζεύγος (\kappa,\lambda) ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις σημαίνει "γεωμετρικά" ότι είναι σημείο τομής των τριών ευθειών(*). Η περίπτωση \kappa=\lambda (επιστρέφοντας στο αρχικό σύστημα) δίνει ότι οι τρεις ευθείες είναι παράλληλες.

(*) το ότι το σημείο έχει συντεταγμένες \kappa,\,\lambda αντί για x_0,\,y_0 δεν αλλάζει κάτι.



Κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ!


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2397
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #24 από grigkost » Δευ Ιούλ 17, 2017 3:35 am

Ας δώσω και την δική μου λύση:

Έστω ότι οι ευθείες έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο τομής (αν είναι παράλληλες έχουν περισσότερα), έστω (x_0,y_0). Τότε

\begin{aligned}
\left\{{\begin{array}{r}
		a_{11}x_0+a_{12}y_0+a_{13}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{21}x_0+a_{22}y_0+a_{23}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
		a_{31}x_0+a_{32}y_0+a_{33}=0
\end{array}}\right\}\quad&\Rightarrow\quad (a_{13},a_{23},a_{33})=-x_0\,(a_{11},a_{21},a_{31})-y_0\,(a_{12},a_{22},a_{32})\\ \noalign{\vspace{0.2cm}}
 &\Rightarrow\quad (a_{13},a_{23},a_{33}),\,(a_{11},a_{21},a_{31}),\,(a_{12},a_{22},a_{32})\; {\textnormal{\gr{ γραμμ. εξαρτ.}}} (^*)\\ \noalign{\vspace{0.2cm}}
 &\Rightarrow\quad \det(A)=0\,.
\end{aligned}

(*) αν x_0=y_0=0, τότε (a_{13},a_{23},a_{33})=(0,0,0)\quad\Rightarrow\quad\det(A)=0\,.

Αντιστρόφως, αν \det(A)=0, τότε τα (a_{11},a_{21},a_{31}),\,(a_{12},a_{22},a_{32}), \,(a_{13},a_{23},a_{33}) είναι γραμμικώς εξαρτημένα(**), δηλαδή υπάρχουν \kappa,\,\lambda, τέτοια ώστε

\begin{aligned}
(a_{11},a_{21},a_{31})=\kappa\,(a_{12},a_{22},a_{32})+\lambda\,(a_{12},a_{23},a_{33})\quad&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}}
\left\{{\begin{array}{r}
	a_{11}+(-\kappa)a_{12}+(-\lambda)\,a_{13}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
	a_{21}+(-\kappa)a_{22}+(-\lambda)\,a_{23}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}}
	a_{31}+(-\kappa)a_{32}+(-\lambda)\,a_{33}=0
	\end{array}}\right\}
\end{aligned}

δηλαδή οι τρεις ευθείες έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο, το (-\kappa,\,-\lambda).

(**) ή τουλάχιστον ένα από αυτά είναι το μηδενικό διάνυσμα, που είναι τετριμμένη περίπτωση.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης