Συντρέχουν

KARKAR · #1

: Συντρέχουν.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Από σημείο

, φέρουμε προς ημικύκλιο διαμέτρου

, τα εφαπτόμενα τμήματα ST,SP

και τα τμήματα

SA,SB

, τα οποία τέμνουν το ημικύκλιο στα C,D

αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα AD,BC,TP

συντρέχουν .

#2

KARKAR έγραψε:
Συντρέχουν.png
Από σημείο , φέρουμε προς ημικύκλιο διαμέτρου , τα εφαπτόμενα τμήματα και τα τμήματα

, τα οποία τέμνουν το ημικύκλιο στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα συντρέχουν .

Είναι ο κλασικός τρόπος κατασκευής (με κανόνα) της πολικής σημείου (εκτός του κύκλου) ως προς τον κύκλο και το πρόβλημα προφανώς αληθεύει και στην περίπτωση που η είναι τυχούσα χορδή του κύκλου και όχι κατ' ανάγκη διάμετρος, αλλά ας το αφήσουμε να ασχοληθούν όσοι δεν το έχουν υπόψη τους

Στάθης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Χαιρετώ τον Αντρέα και όλα τα μέλη.
Έχω εγγραφεί πρόσφατα και στέλνω μια λύση στο γεωμετρικό πρόβλημα που τέθηκε.

Οι γωνίες SCB ,SDA είναι ορθές κι επομένως το τετράπλευρο QCSD είναι κυκλικό.άρα οι γωνίες CSD ,CQD είναι παραπληρωματικές.
Ακόμη ισχύει ότι ΤS=SP και ΟΤ=ΟP (Ακτίνες) κι έτσι ΟS μεσοκάθετη της ΤP.Ας είναι Η το σημείο τομής των ΟS,TP.Ας θεωρήσουμε ακόμη τα τμήματα QP ,QT.Στόχος μας να δείξουμε ότι οι γωνίες TQC ,PQD,CQD έχουν άθροισμα 180 ή ότι TQC +PQD=CSD
Θεωρούμε τις ΑΑ΄,ΒΒ’ κάθετες στην TP.Τότε προφανώς τα τετράπλευρα QDB’B ,AQCA’ είναι κυκλικά κι έτσι γωνία B’QD=γωνίαDBB’=x και γωνία A΄ΗC=γωνία A΄AC=y
Όμως ΑΑ΄//SH//BB’ κι έτσι x=γωνία HSD, y=γωνία ΗSC
Άρα x+y=CSD ή TQC +PQD=CSD ο.ε.δ
το σχήμα είναι στην διεύθυνση:http://img594.imageshack.us/img594/2303/geogebra8.png
Πως μπορώ να ανεβάσω το σχήμα ως εικόνα στο blog? Ας με διαφωτίσει κάποιος

KARKAR · #4

: Συντρέχουν.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Βάζω το σχήμα της λύσης του Μιχάλη , τον οποίο καλωσορίζουμε στο Mathematica .

Για να ανεβάσεις σχήμα , πρώτα το αποθηκεύεις πατώντας : Αρχείο , Εξαγωγή , Προβολή γραφικών ως εικόνα , ..και όνομα ,

και μετά το κείμενό σου : Αναζήτηση - βρίσκεις το αποθηκευθέν αρχείο - Άνοιγμα , Προσθήκη αρχείου .

Πατάς όμως Προεπισκόπηση να δεις πως βγήκε το σχήμα και ύστερα : Υποβολή

#5

KARKAR έγραψε:. Από σημείο , φέρουμε προς ημικύκλιο διαμέτρου , τα εφαπτόμενα τμήματα και τα τμήματα , τα οποία τέμνουν το ημικύκλιο στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα συντρέχουν .

Ας δούμε το ισοδύναμο πρόβλημα στη γενικότερη περίπτωση.

Έστω δύο τυχαίες χορδές κύκλου $\left( O \right)$ και ας είναι $S \equiv AC \cap BD,Q \equiv AD \cap BC,F \equiv AB \cap CD$ . Αν $\left\{ {T,P} \right\} \equiv FQ \cap \left( O \right)$ να δειχθεί ότι είναι εφαπτομενικά τμήματα του κύκλου $\left( O \right)$

Απόδειξη

: 1.png (34.68 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά $\left( {R,Q,C,B} \right)$ (με $R \equiv FS \cap CB$ ) είναι αρμονική

(κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) και επομένως η δέσμη είναι αρμονική άρα και οι σειρές

$\left( {S,E,C,A} \right),\left( {S,Z,D,B} \right)$ είναι αρμονικές, με $E \equiv FQ \cap SA,Z \equiv FQ \cap SB$ , δηλαδή τα είναι τα συζυγή αρμονικά του

ως προς τα ζεύγη των σημείων αντίστοιχα οπότε η $EZ \equiv FTP$ είναι η πολική του ως προς τον κύκλο $\left( O \right)$ και συνεπώς τα είναι

εφαπτομενικά τμήματα του κύκλου $\left( O \right)$ και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Ευχαριστώ θερμά τον Κώστα (Βήττα) για της εύστοχες (όπως πάντα) παρατηρήσεις του και τον πολύτιμο χρόνο που μου διέθεσε τηλεφωνικά.
Κώστα να είσαι πάντα γερός και θέλω από καρδιάς να σου πω ότι χωρίς την ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΣΟΥ στο θα ήμουν πολύ ΦΤΩΧΟΤΕΡΟΣ

#6

Μία απάντηση με χρήση Αντιστροφής

Έστω $Q\equiv AD\cap BC$

θα δείξουμε ότι $Q\in PT$ .

Αντιστρέφουμε με πόλο

και λόγο $\lambda =SD\cdot SB=SC\cdot SA=SP^2=ST^2$

ο κύκλος (O,R)

παραμένει αμετάβλητος

η

αντιστρέφεται στον κύκλο C_1:(SCB)

η

αντιστρέφεται στον κύκλο C_2:(SDA)

το αντίστροφο του

, σημείο τομής των C_1,C_2

και είναι: $SQ\cdot SQ'=SD\cdot SB$

*

ορθόκεντρο του $\vartriangle ASB,\quad Q'\in AB$

η

αντιστρέφεται σε κύκλο $(\Omega)$ ,διερχόμενο από τα S,T,P

το κέντρο του $M\in OS$

αλλά $S\hat Q'O=90^o$ άρα $Q'\in (\Omega)$

επομένως $Q\in PT$

Συντρέχουν

Συντρέχουν

Re: Συντρέχουν

Re: Συντρέχουν

Re: Συντρέχουν

Re: Συντρέχουν

Re: Συντρέχουν

Μέλη σε σύνδεση