Αιφνιδιαστική καθετότητα

KARKAR · #1

: Αιφνιδιαστική καθετότητα.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Οι κύκλοι (O),(K)

, τέμνονται στα σημεία A,B

. Τμήμα

, με άκρα επί των δύο κύκλων ,

διέρχεται από το

. Οι εφαπτόμενες στα P,Q

, τέμνονται στο

, ενώ οι

στο

.

1) Δείξτε ότι $SB \perp BT$

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε:Οι κύκλοι , τέμνονται στα σημεία . Τμήμα , με άκρα επί των δύο κύκλων ,

διέρχεται από το . Οι εφαπτόμενες στα , τέμνονται στο , ενώ οι στο .

1) Δείξτε ότι $SB \perp BT$

: Αιφνιδιαστική-καθετότητα.png (23.37 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Οι «πορτοκαλί» και οι «πράσινες» γωνίες είναι ίσες (χορδή – εφαπτομένη και απ’ το εγγράψιμο SPTQ

) , συνεπώς το BPQT

είναι εγγράψιμο $(P\widehat BQ = P\widehat TQ = \varphi + \omega )$ , τα σημεία S,P,B,T,Q

ομοκυκλικά και $S\widehat BT = {180^ \circ } - S\widehat QT = {90^ \circ }$ .

KARKAR · #3

Εισήλθε ο μεγαλόσχημος* , κύριος Νάνος και ... τέλος !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Γεια σου Θανάση , γεια σου Μιχάλη .
Ας δούμε πρώτα μια γνωστή πρόταση:

: Γνωστή προτασούλα.png (26.84 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Έστω δύο κύκλοι $(K,R)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(O,r)$ που τέμνονται στα σημεία και μεταβλητή τέμνουσα τους που διέρχεται από το .
Τα τρίγωνα $AKO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BQP$ είναι όμοια ( με λόγο ομοιότητας $\lambda = \displaystyle\frac{R}{r}$ ).
Απόδειξη :
Επειδή η διάκεντρος

είναι μεσοκάθετος στην κοινή χορδή

και η γωνία $\widehat P$ είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης θα είναι $\widehat P = \widehat O$ και ομοίως $\widehat K = \widehat Q$ κα η πρόταση αποδείχτηκε .

Στην συγκεκριμένη άσκηση
[attachment=1]Αιφνιδιαστική καθετότητα.png[/attachment]
Από την ομοιότητα των τριγώνων $AKO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BQP$ έχουμε : $\widehat \theta = \widehat \varphi \,\,\,(1)$ . Επειδή τα τρίγωνα $KAQ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,OPA$ είναι ισοσκελή και έχουν τις παρά τη βάση τους γωνίες ίσες από το τρίγωνο TPQ

έχουμε $\widehat \omega + \widehat {TPQ} + \widehat {TQP} = {180^0} \Rightarrow \widehat \omega + \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} = {180^0}$ αλλά και $\widehat \theta + \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} = {180^0}$ οπότε : $\widehat \theta = \widehat \omega \,\,\,(2)$ . Aπό τις $(1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(2)$ έχουμε: $\boxed{\widehat \omega = \widehat \varphi \,\,\,}$ . Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία $\displaystyle{P,B,T,Q}$ είναι ομοκυκλικά. Όμως και τα σημεία S,P,T,Q

είναι ομοκυκλικά γιατί στο τετράπλευρο SPTQ

οι γωνίες στα P,Q

είναι ορθές λόγω των εφαπτομένων τμημάτων SP,SQ

. Τελικά λοιπόν και τα πέντε σημεία S,P,B,T,Q

ανήκουν στον ίδιο κύκλο (τα τρία σημεία P,T,Q

ορίζουν ένα και μόνο κύκλο ) .
Δηλαδή το τετράπλευρο SBTQ

είναι εγγράψιμο και αφού η γωνία στο

είναι ορθή θα είναι και στο

ορθή , δηλαδή $SB \bot BT$ .

Νίκος

Αιφνιδιαστική καθετότητα

Αιφνιδιαστική καθετότητα

Re: Αιφνιδιαστική καθετότητα

Re: Αιφνιδιαστική καθετότητα

Re: Αιφνιδιαστική καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση