Η άλλη πλευρά

KARKAR · #1

: Η άλλη πλευρά.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle AOB$ , έχει κάθετες πλευρές OA=3

και

. Η διχοτόμος

της $\hat{B}$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο (O,3)

στο σημείο

. Αν $\dfrac{(SOB)}{(AOB)}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε την

.

nikos_el · #2

KARKAR έγραψε:Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$

Μάλλον έχει γίνει τυπογραφικό λάθος και είναι: Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle OAB$ .

#3

Πρέπει κάτι να έχω κάνει λάθος, γιατί τα αποτελέσματα δεν είναι "εμφανίσιμα". (*)

: 24-05-2016 Γεωμετρία.jpg (12.39 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Είναι $\displaystyle \frac{{\left( {SOB} \right)}}{{\left( {AOB} \right)}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{SK \cdot a}}{2}}}{{\frac{{3 \cdot a}}{2}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow SK = 2$ .

Είναι $\displaystyle {\rm K}{\rm O} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5$

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{{SK}}{{KB}} = \frac{2}{{\sqrt 5 + \alpha }}$ και $\displaystyle \varepsilon \varphi 2\omega = \frac{3}{a} \Leftrightarrow \frac{{2\varepsilon \varphi \omega }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\omega }} = \frac{3}{\alpha }$

Οπότε $\displaystyle \frac{{\frac{4}{{\sqrt 5 + a}}}}{{1 - \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 5 + a} \right)}^2}}}}} = \frac{3}{\alpha } \Leftrightarrow \frac{{4\left( {\sqrt 5 + a} \right)}}{{{a^2} + 2\sqrt 5 a + 1}}$

Άρα $\displaystyle a = \sqrt5 + \sqrt8$ .

(*) Θυμάμαι, (προ 40 ετών περίπου) είχα έναν καθηγητή, που είχε την ιδιοτροπία οι ασκήσεις που μάς έδινε να έχουν σχεδόν πάντα αποκρουστικά αποτελέσματα. Όταν βρίσκαμε καμμία ρίζα που "έβγαινε" ακριβώς, ξανακοιτάζαμε τις πράξεις για να εντοπίσουμε το λάθος μας...

edit: Διόρθωσα το αρχικό λάθος αβλεψίας με τη διακριτική βοήθεια του Θανάση του Νίκου Φραγκάκη. Ευχαριστώ!
Γιώργο, Μην ψάχνεις άδικα, εγώ είχα λάθος!

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Η άλλη πλευρά.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle AOB$ , έχει κάθετες πλευρές και . Η διχοτόμος

της $\hat{B}$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο . Αν $\dfrac{(SOB)}{(AOB)}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε την .

Καλησπέρα!

: Η άλλη πλευρά...png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

$\displaystyle{\frac{{(SOB)}}{{(AOB)}} = \frac{{aSH}}{{3a}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{SH=2}$ $\displaystyle{O{H^2} = 9 - 4 = 5 \Leftrightarrow }$ $\boxed{OH=\sqrt{5}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi 2\omega = \frac{{2\varepsilon \varphi \omega }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\omega }} \Leftrightarrow \frac{3}{a} = \frac{{\frac{4}{{a + \sqrt 5 }}}}{{1 - \frac{4}{{{{(a + \sqrt 5 )}^2}}}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = \sqrt 5 + 2\sqrt 2 }$

Μόλις τώρα είδα ότι έχουμε την ίδια λύση με τον Γιώργο, αλλά διαφορετικό αποτέλεσμα. Θα το ελέγξω ξανά...

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Η άλλη πλευρά.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle AOB$ , έχει κάθετες πλευρές και . Η διχοτόμος

της $\hat{B}$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο . Αν $\dfrac{(SOB)}{(AOB)}=\dfrac{2}{3}$ , υπολογίστε την .

Kαλησπέρα

$OT=x,AT=3-x,OT//SL\Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{a}{a+\sqrt{5}},(2), \dfrac{x}{3-x}=\dfrac{a}{\sqrt{9+a^{2}}},(1), (1),(2)\Rightarrow a=\sqrt{5}+2\sqrt{2}$

Από τις σχέσεις $(1),(2)\Rightarrow a^{2}-2\sqrt{5}a-3=0\Rightarrow a=\sqrt{5}+2\sqrt{2}, a=\sqrt{5}-2\sqrt{2}<0$

Γιάννης

Η άλλη πλευρά

Η άλλη πλευρά

Re: Η άλλη πλευρά

Re: Η άλλη πλευρά

Re: Η άλλη πλευρά

Re: Η άλλη πλευρά

Μέλη σε σύνδεση