Βρείτε το εμβαδόν (6)

Ιστοσελίδα · #1

Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο Κ τέτοιο ώστε ${\rm A}{\rm K} = 6,\,{\rm B}{\rm K} = 4$ και ${\rm A}\widehat {\rm K}{\rm B} = {90^ \circ }$ . Φέρουμε τη διχοτόμο της ορθής γωνίας και έστω Λ το σημείο τομής με την ΑΒ. Πάνω στην ΓΔ παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο ώστε ${\rm M}\widehat \Lambda {\rm A} = {\rm B}\widehat \Lambda {\rm K}$ . Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου ΑΔΜΛ.

: area6.jpg (45.2 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές

#2

Δίνω μια "μαθητική" λύση αναλυτικά γραμμένη, με εργαλεία που διδάσκονται (;) στη Β΄ Λυκείου:

: 06-11-2010 Geometry.png (49.26 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Από Πυθ. Θεώρημα στο ΑΒΚ είναι: $\displaystyle {\rm A}{\rm B} = \sqrt {{\rm A}{\rm K}^2 + {\rm K}{\rm B}^2 } = \sqrt {36 + 16} = 2\sqrt {13}$

Από Θ. εσωτ. Διχοτόμου στο ΑΒΚ είναι: $\displaystyle {\rm A}\Lambda = \frac{{6 \cdot 2\sqrt {13} }}{{10}} = \frac{{6\sqrt {13} }}{5},\;\;{\rm B}\Lambda = \frac{{4 \cdot 2\sqrt {13} }}{{10}} = \frac{{4\sqrt {13} }}{5}$

Έστω $\displaystyle \widehat{{\rm B}\Lambda {\rm K}} = \widehat{{\rm A}\Lambda {\rm M}} = \phi$

Από Ν. Ημιτόνων στο ΒΛΚ: $\displaystyle \frac{4}{{\eta \mu \phi }} = \frac{{\frac{{4\sqrt {13} }}{5}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\; \Rightarrow \;\eta \mu \phi = \frac{{5\sqrt 2 }}{{2\sqrt {13} }}\; \Rightarrow \;\sigma \upsilon \nu \phi = \sqrt {1 - \left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{{2\sqrt {13} }}} \right)^2 } = \frac{1}{{\sqrt {26} }}$ , άρα $\displaystyle \varepsilon \phi \phi = \frac{{\eta \mu \phi }}{{\sigma \upsilon \nu \phi }} = \frac{{\frac{{5\sqrt 2 }}{{2\sqrt {13} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {26} }}}} = \frac{{5\sqrt {52} }}{{\sqrt {52} }} = 5$

Φέρνουμε ΜΤ κάθετη στην ΑΒ.
Τότε $\displaystyle \frac{{MT}}{{\Lambda {\rm T}}} = \varepsilon \phi \phi \; \Rightarrow \;\frac{{2\sqrt {13} }}{{\Lambda {\rm T}}} = 5\, \Rightarrow \;\Lambda {\rm T} = \frac{{2\sqrt {13} }}{5}$

Άρα $\displaystyle \Delta {\rm M} = {\rm A}{\rm T} = {\rm A}\Lambda - \Lambda {\rm T} = \frac{{4\sqrt {13} }}{5}$

Οπότε: $\displaystyle \left( {{\rm A}\Lambda {\rm M}\Delta } \right) = \frac{{\left( {{\rm A}\Lambda + \Delta {\rm M}} \right) \cdot {\rm A}\Delta }}{2} = \frac{{10\sqrt {13} \cdot 2\sqrt {13} }}{10} = 26$

ΣΧΟΛΙΟ: Παρατηρούμε ότι ΔΜ = ΒΛ, άρα τα τραπέζια ΑΛΜΔ και ΒΛΜΓ είναι ίσα οπότε (ΑΛΜΔ) = (ΑΒΓΔ) /2

Γιώργος Ρίζος

#3

Αν Ο είναι το κέντρο του ΑΒΓΔ και Ο΄το συμμετρικό του ως προς ΑΒ, η διχοτόμος της Κ περνά από το Ο΄(από το εγγράψιμο ΑΚΒΟ΄), επομένως η ΛΜ περνά από το Ο. Επομένως χωρίζει το ΑΒΓΔ σε δύο ίσα σχήματα.
(ΑΒΓΔ)=52, άρα το ζητούμενο εμβδόν είναι 26.

Ιστοσελίδα · #4

Καλημέρα

Αφού άσκησα το εκλογικό μου δικαίωμα δίνω άλλη μια γεωμετρική λύση. Να ευχαριστήσω για ακόμα μια φορά τον Γιώργο (μόνιμο λύτη των θεμάτων που ανεβάζω) και τον Ανδρέα (για την καταπληκτική minimal λύση).

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΚΒ προκύπτει ${\rm A}{\rm B} = 2\sqrt {13}$ .

Από τα σημεία Β και Α φέρω τις προβολές ΒΕ και ΑΖ στην ΚΛ. Τα τρίγωνα ΒΕΚ και ΑΖΚ είναι ορθογώνια και ισοσκελή, οπότε από Πυθαγόρειο θεώρημα: ${\rm B}{\rm E} = {\rm E}{\rm K} = 2\sqrt 2$ και ${\rm A}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm K} = 3\sqrt 2$ .

Έστω Η το σημείο τομής της παράλληλης από το Β προς την ΚΛ και της προέκτασης της ΑΖ. Φέρω ακόμα την ΜΘ κάθετη στην ΑΒ $\left( {{\rm M}\Theta = {\rm A}{\rm B} = 2\sqrt {13} } \right)$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΗΒ, ΒΕΛ και ΜΘΛ είναι όμοια και στο τρίγωνο ΑΗΒ θα ισχύει: ${\rm A}{\rm B} = 2\sqrt {13}$ , ${\rm H}{\rm B} = {\rm Z}{\rm E} = 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = \sqrt 2$ και ${\rm A}{\rm H} = {\rm A}{\rm Z} + {\rm Z}{\rm H} = {\rm A}{\rm Z} + {\rm E}{\rm B} = 3\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 5\sqrt 2$ .

Από την ισότητα του λόγου ομοιότητας παίρνουμε $\Lambda {\rm B} = \displaystyle\frac{{4\sqrt {13} }}{5}$ και $\Lambda \Theta = \displaystyle\frac{{2\sqrt {13} }}{5}$ , οπότε ${\rm A}\Theta = \Delta {\rm M} = \displaystyle\frac{{4\sqrt {13} }}{5}$ και το εμβαδό θα είναι: ${\rm E} = \displaystyle\frac{{\left( {{\rm A}\Lambda + \Delta {\rm M}} \right) \cdot {\rm M}\Theta }}{2} = \displaystyle\frac{{\left( {{\rm A}\Theta + \Theta \Lambda + {\rm A}\Theta } \right) \cdot {\rm M}\Theta }}{2} = \displaystyle\frac{{2\sqrt {13} \cdot 2\sqrt {13} }}{2} = 26\,\tau .\mu .$

: area6-sol.jpg (37.26 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Βρείτε το εμβαδόν (6)

Βρείτε το εμβαδόν (6)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (6)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (6)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (6)

Μέλη σε σύνδεση