Άγνωστο εμβαδό!

irakleios · #1

Αν οι ατοποθετημένοι αριθμοί εκφράζουν τα εμβαδά των μικρών τριγώνων . Πόσο είναι το εμβαδόν του ΑΔΟΕ?

: εμβαδά..png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 1542 φορές

#2

Θέτουμε (ΑΔΟ) = χ, (ΑΕΟ) = ψ.

Επειδή τα ΑΒΟ, ΑΕΟ έχουν κοινό ύψος, προκύπτει η (ΑΒΟ)/(ΑΕΟ) = |ΒΟ|/|ΕΟ|. Όμως τα ΓΒΟ, ΓΕΟ έχουν και αυτά κοινό ύψος, οπότε |ΒΟ|/|ΕΟ| = (ΓΒΟ)/(ΓΕΟ) = 10/8 = 5/4. Δεδομένου ότι (ΑΒΟ) = (ΑΔΟ) + (ΒΔΟ) = χ + 5 και (ΑΕΟ) + (ΓΕΟ) = ψ + 8, συμπεραίνουμε ότι (χ + 5)/ψ = 5/4, δηλαδή 5ψ - 4χ = 20.

Με εντελώς ανάλογο τρόπο έχουμε (ΑΓΟ)/(ΑΔΟ) = |ΓΟ|/|ΔΟ| = (ΒΓΟ)/(ΒΔΟ) = 10/5 και 2χ - ψ = 8.

Επιλύοντας το σύστημα που προέκυψε λαμβάνουμε χ = 10, ψ = 12, οπότε (ΑΔΟΕ) = χ + ψ = 22 και, τελικά, (ΑΒΓ) = 22 + 5 + 10 + 8 = 45.

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

ΥΠΑΡΧΟΥΝ τέτοια τρίγωνα;

[Αναλυτική προσέγγιση διαγράφηκε -- βλέπετε συζήτηση παρακάτω.]

Γιώργος Μπαλόγλου

ΥΓ Ανδρέα Πούλο ... σου θυμίζει κάτι αυτό το πρόβλημα;!

S.E.Louridas · #4

Γιώργο ,μία άποψη στο πραγματικά σημαντικό ερώτημά σου. Τελικά Αντρέα και Γιώργο οι Μαθηματικοί διάλογοι είναι το ζητούμενο που ΑΝΟΙΓΕΙ…..
Αν θεωρήσουμε τυχόν τρίγωνο ΑΒΓ, τότε κάνοντας Ανάλυση έχουμε τον προσδιορισμό (κατασκευαστικά) σημείου Ο ώστε:
$\frac{{{\rm B}{\rm O}}} {{{\rm O}{\rm E}}} = \frac{{10}} {8} = \frac{5} {4}\;\kappa \alpha \iota \;\frac{{\Gamma {\rm O}}} {{{\rm O}\Delta }} = \frac{{10}} {5} = 2,$
σαν τομή παραλλήλων προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, από σημεία Ζ, Η της ΒΓ όταν
$\frac{{{\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm Z}\Gamma }} = \frac{5} {4},\frac{{\Gamma {\rm H}}} {{{\rm H}{\rm B}}} = 2$ .
Θεωρώ τώρα ότι η ομοιοθεσία δίνει κάποια απάντηση.
Δηλαδή να κατασκευάσουμε τρίγωνο Ο΄Β΄Γ΄ όμοιο πρός το ΟΒΓ με αντίστοιχες βάσεις ΒΓ,΄Β΄Γ΄και με εμβαδόν ακριβώς 10 και στήν συνέχεια τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄όμοιο πρός το ΑΒΓ με αντίστοιχες βάσεις τις ΒΓ,΄Β΄Γ΄...

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

…συνεχίζοντας ας παρατηρήσουμε ότι:

${\rm B}{\rm H} = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {3},{\rm Z}\Gamma = \frac{{4{\rm B}\Gamma }} {9} \Rightarrow {\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma = \frac{{7{\rm B}\Gamma }} {9} < {\rm B}\Gamma ,$ οπότε έχουμε λύση.
Αν
${\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma \geqslant {\rm B}\Gamma$
τότε δεν έχουμε τέτοιου τύπου τρίγωνα ΟΒΓ, ΟΒΔ, ΟΓΕ, ώστε… . Και εννοώ γιά σημείο Ο σε εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ κ.τ.λ., ώστε να διαμορφώνουν
το σχήμα-Υπόθεση του προβλήματος μας.
Ενα βασικό πλέον ερώτημα:
Το αρχικό πρόβλημα, λοιπόν, έχει νόημα παρ' όλο που, πιθανόν, δέν υπάρχουν τέτοιου τύπου τρίγωνα ΟΒΓ, ΟΒΔ, ΟΓΕ, ώστε… ;
Και εννοώ με βάση τούς νόμους της μαθηματικής λογικής.

(*) Αντί (δες πάνω) για:
${\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma \geqslant {\rm B}\Gamma$ που είναι το σωστό και που το διόρθωσα, προφανώς εκ παραδρομής, γράφτηκε ${\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma \leqslant {\rm B}\Gamma .$

S.E.Louridas

#6

S.E.Louridas έγραψε:…συνεχίζοντας ας παρατηρήσουμε ότι:

${\rm B}{\rm H} = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {3},{\rm Z}\Gamma = \frac{{4{\rm B}\Gamma }} {9} \Rightarrow {\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma = \frac{{7{\rm B}\Gamma }} {9} < {\rm B}\Gamma ,$ οπότε έχουμε λύση.
Αν
${\rm B}{\rm H} + {\rm Z}\Gamma \leqslant {\rm B}\Gamma ,$ τότε δεν έχουμε τέτοιου τύπου τρίγωνα ΟΒΓ, ΟΒΔ, ΟΓΕ, ώστε… . Και εννοώ γιά σημείο Ο σε εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ κ.τ.λ., ώστε να διαμορφώνουν
το σχήμα-Υπόθεση του προβλήματος μας.
Ενα βασικό πλέον ερώτημα:
Το αρχικό πρόβλημα, λοιπόν, έχει νόημα παρ' όλο που, πιθανόν, δέν υπάρχουν τέτοιου τύπου τρίγωνα ΟΒΓ, ΟΒΔ, ΟΓΕ, ώστε… ;
Και εννοώ με βάση τούς νόμους της μαθηματικής λογικής.

S.E.Louridas

Σωτήρη όχι, το αρχικό πρόβλημα δεν θα είχε νόημα διότι αν δεν ισχύει η συνθήκη που βρήκες γεωμετρικά πιο πάνω -- και στην οποία καταλήγω και εγώ τώρα αναλυτικά -- τότε προκύπτουν αρνητικά εμβαδά για τα ΑΔΟ και ΑΕΟ. Μετά την απαραίτητη επεξεργασία η συνθήκη αυτή γράφεται ως

(ΒΔΟ)(ΓΕΟ) < (ΒΓΟ)(ΒΓΟ)

[Στην περίπτωση μας όντως έχουμε (ΒΔΟ)(ΓΕΟ) = 40 < 100 = (ΒΓΟ)(ΒΓΟ).]

Για να δούμε πιο καθαρά τι γίνεται ας θέσουμε (BDO)=x

,

. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία επίλυσης καταλήγουμε στις ισότητες $(ADO)=\frac{xy(x+z)}{z^{2}-xy}$ και $(AEO)=\frac{xy(y+z)}{z^{2}-xy}$ , απ' όπου προκύπτει η ανωτέρω συνθήκη. (Η οποία προκύπτει επίσης από την σχέση |ΒΗ| + |ΖΓ| < |ΒΓ| του Σωτήρη ύστερα από κάποιες πράξεις.)

Προσοχή τώρα: έχουμε αποδείξει ότι η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία για την ύπαρξη λύσης, δεν έχουμε όμως αποδείξει ότι είναι και ικανή! Αν δηλαδή ισχύει η (ΒΔΟ)(ΓΕΟ) < (ΒΓΟ)(ΒΓΟ) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το (ΑΒΓ), δεν είμαστε όμως σίγουροι ότι υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ που ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες! (Εδώ χρειάζεται περισσότερη δουλειά και ίσως επανέλθω (ότ)αν βρω χρόνο -- αναλυτικά πάλι γιατί την ιδέα του Σωτήρη με την ομοιοθεσία δεν κατάφερα να την αξιοποιήσω. Χθες βέβαια έδωσα λύση για την περίπτωση (ΒΔΟ) = 5, (ΓΕΟ) = 8, (ΒΓΟ)=10.)

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #7

Οι εκδοχές που ανέφερα συνοψίζονται ως εξής:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.
Μία ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε: Υπάρχουν σημεία Ζ, Η της πλευράς ΒΓ που οι παράλληλες από αυτά και αντίστοιχα προς τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ να τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, είναι η ΒΗ+ ΖΓ< ΒΓ.
Στο πρόβλημα μας (και με βάση αυτά που ήδη ανέφερα) η ανισότητα αυτή ισοδύναμα γίνεται:
$\frac{\lambda } {{\kappa + \lambda }} + \frac{\mu } {{\mu + \kappa }} < 1,o\tau \alpha \nu \;\left( {{\rm B}{\rm O}\Gamma } \right) = \kappa ,\left( {{\rm E}{\rm O}\Gamma } \right) = \lambda ,\left( {{\Delta}{\rm O}{\rm B}} \right) = \mu .$
Στην περίπτωση μας
$\frac{\lambda } {{\kappa + \lambda }} + \frac{\mu } {{\mu + \kappa }} = ... = \frac{7} {9} < 1.$

S.E.Louridas

#8

S.E.Louridas έγραψε:Οι εκδοχές που ανέφερα συνοψίζονται ως εξής:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.
Μία ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε: Υπάρχουν σημεία Ζ, Η της πλευράς ΒΓ που οι παράλληλες από αυτά και αντίστοιχα προς τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ να τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, είναι η ΒΗ+ ΖΓ< ΒΓ.
Στο πρόβλημα μας (και με βάση αυτά που ήδη ανέφερα) η ανισότητα αυτή ισοδύναμα γίνεται:
$\frac{\lambda } {{\kappa + \lambda }} + \frac{\mu } {{\mu + \kappa }} < 1,o\tau \alpha \nu \;\left( {{\rm B}{\rm O}\Gamma } \right) = \kappa ,\left( {{\rm E}{\rm O}\Gamma } \right) = \lambda ,\left( {{\Delta}{\rm O}{\rm B}} \right) = \mu .$

Αυτό εννοούσα και εγώ: κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε ισοδύναμα στην $\lambda\mu<\kappa^{2}$

[Μετά όμως; Πως υπολογίζουμε τις πλευρές α, β, γ που οδηγούν στα εμβαδά κ, λ, μ;]

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #9

Μία άποψη (υλοποίηση της ομοιοθεσίας).
Θεωρούμε τυχόν τρίγωνο με βάση ας πούμε B'Γ'=1. Παρατηρούμε ότι προσδιορίζονται τα σημεία Η΄, Ζ΄ της Β΄Γ΄ , ώστε..., οπότε με βάση τις παράλληλες κ.τ.λ. (διαδικασία που ήδη ανέφερα γιά τα συγκεκριμμένα κ,λ,μ) προσδιορίζουμε το Ο΄ (αντίστοιχο του Ο). Άρα έχουμε κατασκευασμένο το τρΟ΄Β΄Γ΄. Έστω Ε το εμβαδόν του. Θα προσδιορίσουμε τώρα τρίγωνο ΟΒΓ,εμβαδού 10, όμοιο στο Ο΄Β΄Γ΄. Αρκεί ,προφανώς να προσδιορίσουμε την πλευρά του. Έστω x η πλευρά του. Θα έχουμε :
$\frac{E} {10} = \left( {\frac{1} {x}} \right)^2 \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{10}} {E}} .$
Από εδώ και πέρα εύκολα κατασκευάζεται τρ. ΑΒΓ όμοιο στο Α΄Β΄Γ΄, με βάση πάντα τα δεδομένα.
Η διαδικασία αυτή προφανώς γενικεύεται.
Οι πλευρές του Κατασκευασθέντος τριγώνου ΑΒΓ, οδηγούν στην Κατασκευή τριγώνων ΟΒΓ, ΟΕΓ, ΟΔΒ, αντίστοιχων εμβαδών 10, 8, 5.

S.E.Louridas

#10

S.E.Louridas έγραψε:Μία άποψη (υλοποίηση της ομοιοθεσίας).
Θεωρούμε τυχόν τρίγωνο με βάση ας πούμε B'Γ'=1. Παρατηρούμε ότι προσδιορίζονται τα σημεία Η΄, Ζ΄ της Β΄Γ΄ , ώστε..., οπότε με βάση τις παράλληλες κ.τ.λ. (διαδικασία που ήδη ανέφερα γιά τα συγκεκριμμένα κ,λ,μ) προσδιορίζουμε το Ο΄ (αντίστοιχο του Ο). Άρα έχουμε κατασκευασμένο το τρΟ΄Β΄Γ΄. Έστω Ε το εμβαδόν του. Θα προσδιορίσουμε τώρα τρίγωνο ΟΒΓ,εμβαδού 10, όμοιο στο Ο΄Β΄Γ΄. Αρκεί ,προφανώς να προσδιορίσουμε την πλευρά του. Έστω x η πλευρά του. Θα έχουμε :
$\frac{E} {10} = \left( {\frac{1} {x}} \right)^2 \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{10}} {E}} .$
Από εδώ και πέρα εύκολα κατασκευάζεται τρ. ΑΒΓ όμοιο στο Α΄Β΄Γ΄, με βάση πάντα τα δεδομένα.
Η διαδικασία αυτή προφανώς γενικεύεται.
Οι πλευρές του Κατασκευασθέντος τριγώνου ΑΒΓ, οδηγούν στην Κατασκευή τριγώνων ΟΒΓ, ΟΕΓ, ΟΔΒ, αντίστοιχων εμβαδών 10, 8, 5.

S.E.Louridas

Σωτήρη ΝΑΙ, το πρόβλημα έχει όντως λυθεί! Το ζήτημα δεν είναι η ομοιοθεσία -- μπορούμε εντέλει απλώς να αντικαταστήσουμε τις (ΒΔΟ) = 5, (ΒΓΟ) = 10, (ΓΕΟ) = 8 με τις (ΒΔΟ)/(ΒΓΟ) = 1/2 και (ΓΕΟ)/(ΒΓΟ) = 4/5 χωρίς ουσιαστικά να αλλάξει το πρόβλημα -- αλλά η απολύτως τυχαία επιλογή του Ο μετά την επιλογή των Η, Ζ που ικανοποιούν τις |ΓΖ|/|ΒΖ| = 4/5 και |ΒΗ|/|ΓΗ| = 1/2 (μια επιλογή που, όπως επισήμανες, είναι δυνατή χάρις κατ' ουσίαν στην (1/2)(4/5) < 1).

Πράγματι, για οποιοδήποτε Ο μπορούμε να φέρουμε Βχ//ΟΗ και Γψ//ΟΖ και να ορίσουμε το Α ως σημείο τομής τους (όπως έγραψες), και βεβαίως τα Δ και Ε ως σημεία τομής των ΓΟ, ΒΑ και των ΒΟ, ΓΑ, αντίστοιχα. (Και με βάση τις όποιες, τυχαίες, συντεταγμένες του Ο να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του Α αν το επιθυμούμε.) Εύκολα έχουμε (ΓΕΟ)/(ΒΓΟ) = |ΕΟ|/|ΒΟ| = |ΓΖ|/|ΒΖ| = 4/5 και (ΒΔΟ)/(ΒΓΟ) = |ΔΟ|/|ΓΟ| = |ΒΗ|/|ΓΗ| = 1/2.

[...Ομολογώ ότι η αναλυτική μου προσέγγιση με οδήγησε σε άσχημα μονοπάτια, γι' αυτό και την διαγράφω -- κάτι που δεν συνηθίζω να κάνω μια και πιστεύω πως συνήθως μαθαίνουμε και από τα λάθη μας -- καθώς είναι περισσότερο παραπλανητική παρά διαφωτιστική και περιττή τελικά...]

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #11

Επειδή Γιώργο το άθλημα πρέπει να είναι ΚΑΙ ομαδικό, εκείνο που ξέρω είναι ότι με βάση την όμορφη άσκηση που πρότεινε ο Irakleios και την επιστημονική ερώτηση ουσίας που έθεσες ,έγινε ένας Μαθηματικός διάλογος που σίγουρα αφήνει κάτι.

S.E.Louridas

Ανδρέας Πούλος · #12

Ο Γιώργος αναφέρεται σε ένα θέμα που είχα προτείνει πριν από αρκετό καιρό
και αφορά πάλι σε ένα άγνωστο εμβαδόν.
Το έχουμε συζητήσει μαζί δύο με τρεις φορές.
Είναι το θέμα viewtopic.php?f=50&t=9817.
Ευτυχώς που δεν το έχει πάρει χαμπάρι κάποιος από τους συντονιστές,
(Φωτεινή δεν βλέπεις, δεν ακούς, δεν απειλώ, αλλά ....),
αλλιώς θα μου έκαναν παρατήρηση για παράβαση των κανονισμών του Φόρουμ.
Την λύση του προβλήματος ούτε την ξέρω, ούτε την βρήκα ακόμη,
αν και υποψιαζόμαστε
ότι είναι παραμετρικό, δηλαδή για διαφορετικούς κύκλους μπορεί να έχουμε
αυτά τα τρία συγκεκριμένα εμβαδά και οι κύκλοι να διαφέρουν ως προς το τέταρτο.

Πάντως για το θέμα που συζητάμε τώρα, έχει γίνει ωραία συζήτηση,
κάτι που δεν έγινε με το δικό μου.
Υποψιάζομαι τις δυνάμεις του σκότους, αλλά δεν είμαι σίγουρος.
Σας παρακαλώ, δείξτε λίγη προσοχή, έχω μαυρίσει από το κακό μου.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #13

Νομίζω βρήκα μία απάντηση.
Φέρω την ΑΟ και ονομάζω (ΑΔΟ) = α και (ΑΔΕ) = β.
Αφού (ΒΔΟ) = 5 και (ΒΟΓ) = 10,
έχω τρίγωνα με ίσα ύψη, άρα ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των βάσεων.

Άρα $\frac{5}{10}=\frac{a}{b+8}\Rightarrow b + 8 = 2a$ , (1).

Επίσης, $\frac{10}{8}= \frac{5+a}{b} \Rightarrow 5b = 20 + 4a$ , (2).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι α = 10 και β = 12.
Άρα το άγνωστο εμβαδόν είναι 10 + 12 = 22.
Είναι 02:47 και η πιθανότητα λάθους είναι ιδιαίτερα αυξημένη.
Θα τα πούμε πάλι αύριο.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #14

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Ο Γιώργος αναφέρεται σε ένα θέμα που είχα προτείνει πριν από αρκετό καιρό
και αφορά πάλι σε ένα άγνωστο εμβαδόν.
Το έχουμε συζητήσει μαζί δύο με τρεις φορές.
Είναι το θέμα viewtopic.php?f=50&t=9817.
Ευτυχώς που δεν το έχει πάρει χαμπάρι κάποιος από τους συντονιστές,
(Φωτεινή δεν βλέπεις, δεν ακούς, δεν απειλώ, αλλά ....),
αλλιώς θα μου έκαναν παρατήρηση για παράβαση των κανονισμών του Φόρουμ.
Την λύση του προβλήματος ούτε την ξέρω, ούτε την βρήκα ακόμη,
αν και υποψιαζόμαστε
ότι είναι παραμετρικό, δηλαδή για διαφορετικούς κύκλους μπορεί να έχουμε
αυτά τα τρία συγκεκριμένα εμβαδά και οι κύκλοι να διαφέρουν ως προς το τέταρτο.

Πάντως για το θέμα που συζητάμε τώρα, έχει γίνει ωραία συζήτηση,
κάτι που δεν έγινε με το δικό μου.
Υποψιάζομαι τις δυνάμεις του σκότους, αλλά δεν είμαι σίγουρος.
Σας παρακαλώ, δείξτε λίγη προσοχή, έχω μαυρίσει από το κακό μου.

Από απροσεξία, ξαναέβαλα την ίδια λύση που είχε δημοσιεύσει ο Γιώργος,
θεωρώντας ότι έκανα κάτι νέο. Την διαγράφω.
Είδα ότι διαγράφεται μόνο η τελευταία δημοσίευση.
Αν είναι εύκολο, οι συντονιστές να διαγράψουν τις δύο τελευταίες δημοσιεύσεις μου

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#15

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Ευτυχώς που δεν το έχει πάρει χαμπάρι κάποιος από τους συντονιστές,
(Φωτεινή δεν βλέπεις, δεν ακούς, δεν απειλώ, αλλά ....),
αλλιώς θα μου έκαναν παρατήρηση για παράβαση των κανονισμών του Φόρουμ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

ωπ...μόλις είδα το θέμα...κάποιος με φώναξε;

Ανδρέας Πούλος · #16

Κατάρα,
εκτός από τους Big brothers έχουμε και την big sister.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Άγνωστο εμβαδό!

Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Re: Άγνωστο εμβαδό!

Μέλη σε σύνδεση