Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png (12 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές

Στην πλευρά

- μήκους $\ell$ - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κινείται σημείο

Στην προέκταση της βάσης

παίρνω σημείο

, ώστε

α) Δείξτε ότι το μέσο

του τμήματος

, κινείται επί της

β) Αν

οι προβολές των S,M

στην

, υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του SMM'S'

sakis1963 · #2

: GEOMETRIA Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Καλησπέρα Θανάση,
Εστω $\ell=a$
α. Από το

φέρω // στην

που τέμνει την

στο

. To

είναι ισόπλευρο οπότε SD=AS=x=CT

και συνεπώς το SDTC

είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγωνιές του διχοτομούνται. Αρα DM=MC

και $\boxed{SM=MT}$
β.Είναι $E=(SS'M'M)=\dfrac{(SS'+MM')\cdot S'M'}{2}=\dfrac{\dfrac{3y}{2}(x+\dfrac{a-x}{4})}{2}$ ......(1)
Από όμοια τρίγωνα $y=\dfrac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$ ......(2)
Από (1),(2) μετά από πράξεις $E=\dfrac{3\sqrt{3}}{32}(-3x^2+2ax+a^2)$ που έχει μέγιστο για $x=\dfrac{a}{3}$ ,
οπότε $\boxed{E_{max}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}}$

Φιλικά Σάκης

raf616 · #3

KARKAR έγραψε:
Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png
Στην πλευρά - μήκους $\ell$ - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κινείται σημείο

Στην προέκταση της βάσης παίρνω σημείο , ώστε

α) Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος , κινείται επί της

β) Αν οι προβολές των στην , υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του

Καλησπέρα σε όλους!

(α) Αν

είναι το σημείο τομής της

με την

τότε αρκεί το

να είναι μέσο του

.

Το θέωρημα Μενελάου στο τρίγωνο BST

με διατέμνουσα την CMA

δίνει:

$\dfrac{x}{l}\dfrac{l}{x}\dfrac{SM}{MT} = 1 \iff SM = MT$ . Έτσι, το ζητούμενο εδείχθη.

(β) Τα τρίγωνα SBS'

και

είναι όμοια. Αφού SS' = 2MM'

επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο STS'

το

είναι μέσο

και $MM' \parallel SS'$ και άρα τα τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας

. Επομένως, $MC = \dfrac{l-x}{2}$ .

Ακόμα αφού $\widehat{BSS'} = 30^{o}$ θα είναι $BS' = \dfrac{SB}{2} \iff BS' = \dfrac{l-x}{2}$ . Άρα, $MM' = \dfrac{l-x}{4}$ .

Εύκολα τώρα $S'M' = \dfrac{l + 3x}{4}$ . Ακόμα με Π.Θ προκύπτει $MM' = \dfrac{\sqrt{3}(l-x)}{4}$ .

Είναι: $(SS'MM') = \dfrac{(MM' + SS')S'M'}{2} = ... = \dfrac{3\sqrt{3}(l-x)(l + 3x)}{32}$ .

Αρκεί να δούμε πότε μεγιστοποιείται η παράσταση (l-x)(l+3x) = -3x^2 + 2lx + l^2

Παίρνει μέγιστη τιμή $-\dfrac{\Delta}{4a} = ... = \dfrac{4l^2}{3}$ για $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{l}{3}$ .

Άρα το μέγιστο εμβαδόν είναι $\dfrac{3\sqrt{3}(l-x)(l + 3x)}{32} = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{8}$ για $x = \dfrac{l}{3}$ .

*Με κάθε επιφύλαξη για λάθος στις πράξεις.

ealexiou · #4

: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png (24.1 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

α) Φέρνω $KT//AC\wedge TL//AB \Rightarrow \triangle SMA= \triangle TML \Rightarrow SM=MT$
και το ζητούμενο εδείχθη

β) $(SMM'S')= \dfrac{a+3x}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (a-x)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=$ $\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{8}-\dfrac{1}{32}\cdot \sqrt{3}(a-3x)^2$

Άρα το

γίνεται μέγιστο για $a-3x=0 \Rightarrow$

$x=\dfrac{a}{3}\ \wedge \ (SMM'S')_{max}= \dfrac{3\sqrt{3}a^2}{8}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά - μήκους $\ell$ - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κινείται σημείο

Στην προέκταση της βάσης παίρνω σημείο , ώστε

α) Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος , κινείται επί της

β) Αν οι προβολές των στην , υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του

$\displaystyle{SZ//BC \Rightarrow AS = SZ = //CT \Rightarrow SZTC}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow SM = MT}$

$\displaystyle{\left( {MM'C} \right) \approx \left( {AEC} \right) \Rightarrow \frac{{AE}}{{MM'}} = \frac{{AC}}{{MC}} = \frac{{EC}}{{CM'}} \Rightarrow \frac{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2}}}{{MM'}} = \frac{l}{{\frac{{l - x}}{2}}} = \frac{{\frac{l}{2}}}{{CM'}} \Rightarrow \boxed{MM' = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {l - x} \right)},CM' = \frac{{l - x}}{4} \Rightarrow \boxed{M'T = \frac{{l + 3x}}{4}}}$

και $\displaystyle{\left( {MM'T} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{32}}\left( {l - x} \right)\left( {l + 3x} \right)}$

Αλλά $\displaystyle{M}$ μέσον της $\displaystyle{ST}$ άρα $\displaystyle{\left( {SS'M'M} \right) = 3\left( {MM'T} \right)}$

Έτσι $\displaystyle{{{{\left( {MM'S'S} \right)}_{\max }}}}$ όταν $\displaystyle{\left( {l - x} \right)\left( {l + 3x} \right) = \max }$ που ισχύει για $\displaystyle{x = \frac{l}{3}}$ και $\displaystyle{\boxed{{{\left( {MM'S'S} \right)}_{\max }} = \frac{{\sqrt 3 {l^2}}}{8}}}$

: i.k.m.e.png (9.64 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά - μήκους $\ell$ - ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , κινείται σημείο

Στην προέκταση της βάσης παίρνω σημείο , ώστε

α) Δείξτε ότι το μέσο του τμήματος , κινείται επί της

β) Αν οι προβολές των στην , υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του

Kαλησπέρα και η λύση μου θυμίζει ....Ανώγεια ...όσοι παρακολούθησαν την Διημερίδα Γεωμετρίας θα καταλάβουν..
Α) Κατασκευάζουμε την MK//AB

,άρα το τρίγωνο MKC

είναι ισόπλευρο .Θέτουμε KC=CM=y

.Στο τρίγωνο ABC

εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσα την SMT

, κόκκινη γραμμή,

$\dfrac{MA}{MC}.\dfrac{TC}{TB}.\dfrac{BS}{SA}=1\Leftrightarrow \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{x+a}{a-x},(1)$

$MK//AB \Rightarrow \dfrac{MK}{BS}=\dfrac{TM}{TS}=\dfrac{TK}{TB}=\dfrac{y+x}{x+a},(2) (1)\Rightarrow \dfrac{a+x}{a-x}=\dfrac{a-y}{y}\Leftrightarrow y=\dfrac{a-x}{2},(3) (2),(3)\Rightarrow \dfrac{TM}{TS}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow TM=MS$

B)

$(SS'M'M)=(SS'T)-(MM'T)=\dfrac{1}{2}(SS')(S'T)-\dfrac{1}{2}(MM')(M'T)=\dfrac{3}{4}(SS')(S'M')=\dfrac{3\sqrt{3}}{32}(-3x^{2}+2ax+a^{2}), SS'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a-x),TM'=\dfrac{3x+a}{4}$

Κατά τα γνωστά με παραγώγους η τριώνυμο βρίσκουμε την μέγιστη τιμή του

$(SS'MM')=\dfrac{\sqrt{3}}{8}.a^{2}, x=\dfrac{a}{3}$

φιλικά Γιάννης

Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Re: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Re: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Re: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Re: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Re: Ισότητα και μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση