Όχι αριθμητική

KARKAR · #1

: Όχι αριθμητική.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Έξω από το τετράγωνο ABCD

και με διάμετρο την

, γράφουμε ημικύκλιο και έστω

ένα σημείο του . Οι SA,SB

τέμνουν την

σε δύο σημεία , σχηματίζοντας τα τμήματα a,b,c

.

α) Αν το

είναι το μέσο του τόξου δείξτε ότι a=b=c

β) Αν το

βρίσκεται πλησιέστερα προς το

, δείξτε ότι a<b<c

.

Είναι δυνατόν τα μήκη των a,b,c

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ?

ealexiou · #2

: Οχι αριθμητική.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

α) Είναι SK'= K'C =r

και $\triangle SK'C \sim \triangle SS'E' \Rightarrow$ $SS'=S'E'=3r \Rightarrow BE'=$ 3r-r=2r=AB

Όμοια και

Είναι $\triangle SL'C \sim \triangle SBE' \Rightarrow L'C=\dfrac{BE}{3}=\dfrac{2r}{3}$ . Όμοια και $DL=\dfrac{2r}{3}$ . Άρα και $LL'=2r-\dfrac{2r}{3}-\dfrac{2r}{3}=\dfrac{2r}{3}$
και το πρώτο ζητούμενο εδείχθη.

β) Είναι φανερά EA<GA=AB

και

Επίσης είναι $\triangle S_{1}DK \sim \triangle S_{1}EA \Rightarrow$ $\dfrac{DK}{EA}=\dfrac{S_{1}K}{S_{1}A} \Rightarrow$

$DK=a=EA\dfrac{S_{1}K}{S_{1}A}$ Όμοια και $KK'=b=AB\dfrac{S_{1}K}{S_{1}A}$ και $K'C=c=BG'\dfrac{S_{1}K'}{K'B}$

και επειδή $\dfrac{S_{1}K'}{K'B}=\dfrac{S_{1}K}{S_{1}A}$ εύκολα συμπεραίνουμε ότι a<b<c

και το δεύτερο ζητούμενο εδείχθη.

Για το γ)

: Οχι αριθμητική(1).png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

Είναι $GA+AB+BG'=6r \Rightarrow$ $\dfrac{S'S}{K'S}=\dfrac{GG'}{DC}=\dfrac{6r}{2r}=3$

Επίσης είναι $\triangle EE'S_{1} \sim \triangle DCS_{1}\Rightarrow$ $\dfrac {EE'}{DC}=\dfrac{S_{1}'S_{1}}{NS_{1}}\Rightarrow$ $EE'=DC\dfrac{S_{1}'S_{1}}{NS_{1}}$

Επειδή $\dfrac{S_{1}'S_{1}}{NS_{1}}>\dfrac{S'S}{KS}=3 \Rightarrow$ $EE'>2r\cdot3\Rightarrow EE'>6r \Rightarrow$
$EA+BE'>4r \Rightarrow EA+BE' >2AB$ , άρα τα τμήματα EA,AB,BE'

δεν μπορεί να είναι όροι αριθμητικής προόδου.

Αντίστοιχα δεν μπορεί να είναι όροι αριθμητικής προόδου και τα ανάλογα τους τμήματα a,b,c

(καταραμένο ...Latex)

sakis1963 · #3

Καλημέρα Θανάση και Ευθύμη,

ξεκινώ ανάποδα και έστω

το ύψος από το

στην

που χωριζει το τμήμα

σε

(από αριστερά προς τα δεξιά)
προφανώς ισχύει $0\leq\dfrac{h}{d}\leq\dfrac{1}{2}$ .....(1) και απ'τα όμοια ορθ. τρίγωνα $b_a=a\dfrac{h}{d}, b_c=c\dfrac{h}{d}$ απόπου $b=b_a+b_c=b_a=(a+c)\dfrac{h}{d}$ δηλ. $\dfrac{h}{d}=\dfrac{b}{a+c}$ και σε συνδυασμό με την (1) προκύπτει $0\leq\dfrac{b}{a+c}\leq\dfrac{1}{2}$ ή αλλοιώς $\boxed{a+c\geq2b}$ .....(2)
α. Οταν το

είναι μέσον του ημικυκλίου, αφενός $\dfrac{h}{d}=\dfrac{1}{2}$ και αφετέρου $b_a=b_c=a\dfrac{h}{d}=c\dfrac{h}{d}$ απόπου $\boxed{a=b=c}$
β. Είναι φανερό c>a

.
Αν

τότε και

απόπου

άτοπο λόγω της (2)
Αν b<a

τότε $b+c<a+c \Rightarrow \dfrac{b+c}{a+c}<1 \Rightarrow \dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}<1 \Rightarrow$
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+c}<1 \Rightarrow 2c<a+c \Rightarrow c<a$ άτοπο

Αρα $\boxed{a<b<c}$

γ. Είναι φανερό από τη (2) ότι για να είναι τα a, b, c

όροι Α.Π. πρέπει να ισχύει η ισότητα, που συμβαίνει όταν το

είναι μέσον και $\dfrac{h}{d}=\dfrac{1}{2}$ , αλλά τότε a=b=c

(καταχρηστικά Α.Π. με διαφορά $\omega=0$ )

Φιλικά Σάκης

KARKAR · #4

Λήμμα : Τρεις διαφορετικοί αριθμοί a,b,c

, είναι αδύνατον να είναι ταυτόχρονα

διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου . ( Δώστε απόδειξη )

Δείξτε , λοιπόν , ότι οι a,b,c

της άσκησης είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ...

#5

KARKAR έγραψε:Λήμμα : Τρεις διαφορετικοί αριθμοί , είναι αδύνατον να είναι ταυτόχρονα

διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου . ( Δώστε απόδειξη )

Δείξτε , λοιπόν , ότι οι της άσκησης είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ...

Καλημέρα σε όλους.

Απόδειξη του Λήμματος:
Αν οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί a,b,c

είναι ταυτόχρονα διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου τότε: $\boxed{2b=a+c}$ και $\boxed{b^2=ac}$
Άρα οι a,c

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{x^2} - 2bx + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {(x - b)^2} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{a=b=c}$ , που είναι άτοπο από την υπόθεση.

ealexiou · #6

Καλημέρα!

Έστω ότι είναι όροι αριθμητικής a, b=a+k, c=a+2k

και γεωμετρικής προόδου $b^2=ac\Rightarrow$
$(a+k)^2=a\cdot (a+2k)\Rightarrow (a+k)^2-a\cdot (a+2k)=0 \Rightarrow$ $a^2+k^2+2ak-a^2-2ka=k^2 =0 \Rightarrow k=0$ , άτοπο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Όχι αριθμητική.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έξω από το τετράγωνο και με διάμετρο την , γράφουμε ημικύκλιο και έστω

ένα σημείο του . Οι τέμνουν την σε δύο σημεία , σχηματίζοντας τα τμήματα .

α) Αν το είναι το μέσο του τόξου δείξτε ότι

β) Αν το βρίσκεται πλησιέστερα προς το , δείξτε ότι .

Είναι δυνατόν τα μήκη των να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ?

1.Έστω $\displaystyle{\alpha }$ η πλευρά του τετραγώνου

Προφανώς $\displaystyle{SDOC}$ τετράγωνο με $\displaystyle{2DS = AC}$ και $\displaystyle{AC//DS \Rightarrow \frac{{DS}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{DE}}{{a - DE}} \Rightarrow \boxed{DE = \frac{\alpha }{3}}}$ και ομοίως $\displaystyle{\boxed{ZC = \frac{\alpha }{3}}}$ άρα και $\displaystyle{\boxed{ZE = \frac{\alpha }{3}}}$

: O.A1.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

2.Έστω τώρα $\displaystyle{S}$ πλησιέστερο του $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{{S'}}$ η νέα θέση του $\displaystyle{S}$

Έστω $\displaystyle{S'D \cap AB = H}$ .Ισχύει $\displaystyle{S'C > S'D \Rightarrow \varepsilon \varphi \omega > 1}$ κι ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x \geqslant y}$ οπότε

$\displaystyle{\frac{{HA}}{{AB}} = \frac{x}{y} \geqslant 1 \Rightarrow \frac{{HA}}{{AD}} \geqslant 1 \Rightarrow \varepsilon \varphi \varphi \geqslant 1 \Rightarrow \sigma \varphi \omega \geqslant 1 \Rightarrow \sigma \varphi \omega \cdot \varepsilon \phi \omega > 1}$ άτοπο

Με όμοιο τρόπο σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{y \geqslant z}$ κι επομένως $\displaystyle{x < y < z}$

: O.A2.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

3.Στην περίπτωση αυτή αν οι $\displaystyle{x,y,z}$ αποτελούν δ.όρους α. προόδου θα ισχύει $\displaystyle{x + y + z = \alpha }$ και $\displaystyle{2y = x + z}$ άρα $\displaystyle{y = \frac{\alpha }{3}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{S'K}}{{S'A}} = \frac{1}{3} = \frac{{SE}}{{SA}}}$ (βλέπε πρώτη περίπτωση) $\displaystyle{ \Rightarrow S'S//AB}$ άτοπο

Όχι αριθμητική

Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Re: Όχι αριθμητική

Μέλη σε σύνδεση