Ασταθές μέσο

KARKAR · #1

: Ασταθές μέσον.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Η χορδή

του κύκλου (O)

, είναι μεσοκάθετη της ακτίνας

. Σημείο

κινείται επί της χορδής . Η

τέμνει τον κύκλο στο

, ενώ η κάθετη στην

στο

,

τέμνει τον κύκλο στο

. Με κέντρο το μέσο

της

γράφω τον κύκλο (N,NC)

.

Δείξτε ότι το μέσο

της χορδής

, βρίσκεται πάντα πάνω στον κύκλο (N)

.

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ασταθές μέσον.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή του κύκλου , είναι μεσοκάθετη της ακτίνας . Σημείο

κινείται επί της χορδής . Η τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη στην στο ,

τέμνει τον κύκλο στο . Με κέντρο το μέσο της γράφω τον κύκλο .

Δείξτε ότι το μέσο της χορδής , βρίσκεται πάντα πάνω στον κύκλο .

Καλησπέρα.

: Ασταθές μέσο_αναλυτική.png (19.28 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Επιλέγω σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και μοναδιαίο διάνυσμα του οριζόντιο άξονα το $\boxed{\overrightarrow i = \overrightarrow {NA} }$ . Έτσι , $A(1,0)\,\,\,,\,\,O( - 1,0)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S(0,s)\,\,,\,\,s \in ( - \sqrt 3 ,\sqrt 3 )$ .

Ο κύκλος $C \to {(x + 1)^2} + {y^2} = 4$ , η ευθεία $AS \to x + \dfrac{y}{s} = 1\,\,\,$ και η ευθεία $SP \to y - s = \dfrac{x}{s}$ .

$T:\left\{ \begin{gathered} {(x + 1)^2} + {y^2} = 4 \hfill \\ x + \frac{y}{s} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{T(\dfrac{{{s^2} - 3}}{{1 + {s^2}}},\dfrac{{4s}}{{1 + {s^2}}})}$ η άλλη λύση δίδει τις συντεταγμένες του A(1,0)

.

Ομοίως βρίσκουμε για το

δύο λύσεις και ανεξαρτήτως ποια θα κρατήσουμε προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα . Ας πάρουμε την μια λύση :

$P( - \dfrac{{s(\sqrt {3(2{s^2} + 1) - {s^4}} + 2s)}}{{1 + {s^2}}},\dfrac{{s({s^2} - 1) - \sqrt {3(2{s^2} + 1) - {s^4}} }}{{1 + {s^2}}})$ .

Θέτουμε για ευκολία πράξεων $k = \sqrt {3(2{s^2} + 1) - {s^4}}$ και προκύπτει :

$M( - \dfrac{{{s^2} + 3 + sk}}{{2(1 + {s^2})}},\dfrac{{s({s^2} + 3) - k}}{{2(1 + {s^2})}})$ απ’ όπου βρίσκουμε $M{N^2} = 3$ που αποδεικνύει το ζητούμενο .

Άθλια λύση, αλλά λύση . Αργότερα θα δω για γεωμετρική λύση .

Ν.

Al.Koutsouridis · #3

KARKAR έγραψε:
Ασταθές μέσον.png
Η χορδή του κύκλου , είναι μεσοκάθετη της ακτίνας . Σημείο

κινείται επί της χορδής . Η τέμνει τον κύκλο στο , ενώ η κάθετη στην στο ,

τέμνει τον κύκλο στο . Με κέντρο το μέσο της γράφω τον κύκλο .

Δείξτε ότι το μέσο της χορδής , βρίσκεται πάντα πάνω στον κύκλο .

Καλησπέρα,

Μια μετρική λύση.

Από το θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα PNT, OTA, OPA

έχουμε

$\displaystyle{ 4MN^{2} = 2NT^{2} + 2NP^{2} -PT^{2} }$ (1)

$\displaystyle { 2TN^{2} = OT^{2} + AT^{2} -OA^{2}/2 }$ (2)

$\displaystyle { 2NP^{2} = OP^{2} + AP^2 -OA^{2}/2$ (3)

από τις (1), (2), (3) και με R= OT=OP=OA

ακτίνα του κύκλου (O)

προκύπτει ότι

$\displaystyle { 4MN^2 = OT^{2} + AT^{2} -OA^{2}/2 + OP^{2} + AP^2 -OA^{2}/2 - PT^{2} } \Rightarrow$

$\displaystyle { 4MN^2 = R^2 + AT^2 -R^{2}/2 +R^2 +AP^2 -R^{2}/2 -PT^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ 4MN^2 = R^2 +AT^2 +AP^2-PT^2 }$ (4)

Από το γενικευμένο πυθαγόρειο για οξεία γωνία στο τρίγωνο PTA

με ύψος

έχουμε

$AP^2 = PT^2 + AT^2 -2AT \cdot TS$ (5)

αντικαθιστώντας την (5) στην (4) βρίσκουμε

$\displaystyle{ 4MN^2 = R^2 + AT^2 + PT^2 + AT^2 -2AT \cdot TS - PT^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle {4MN^2 = R^2 +2(AT^2 -AT \cdot TS) \Rightarrow$

$\displaystyle { 4MN^2 = R^2 +2( (SA+TS)^{2} - (TS+SA)TS ) \Rightarrow }$

$\diplaystyle { 4MN^2 = R^2 +2 ( SA^2+2TS \cdot SA+ TS^2 -TS^2 - TS \cdot SA ) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ 4MN^2 = R^2 + 2(SA^2 + TS \cdot SA)$ (6)

Από δύναμη του σημείου

έχουμε ότι $TS \cdot SA = R^2-OS^2$ επίσης SA= OS

αφού

μεσοκάθετος. Άρα η (6) γίνεται

$\displaystyle{ 4MN^2 = R^2 +2 ( SA^2 + R^2 - OS^2) \Rightarrow$

$\displaystyle { 4MN^2 = R^2 +2R^2 = 3R^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle { MN = \frac{\sqrt{3}}{2}R }$

που είναι ίσο με την ακτίνα

ως ύψος του ισόπλευρου τριγώνου OCA

πλευράς

. Άρα το

ανήκει στο κύκλο (N )

.

Ασταθές μέσο

Ασταθές μέσο

Re: Ασταθές μέσο

Re: Ασταθές μέσο

Μέλη σε σύνδεση