Νέα καθετότητα

KARKAR · #1

: Νέα καθετότητα.png (11.39 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Η διχοτόμος

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνει τη διχοτόμο της $\hat{B}$ στο σημείο

,

ενώ η μεσοκάθετος της

την τέμνει σε σημείο

. Δείξτε ότι : $DS \perp AI$ .

raf616 · #2

Καλησπέρα! Όμορφη άσκηση!

Έστω $T \equiv SD \cap AI$ . Αρκεί το STIM

να είναι εγγράψιμο.

Ισχύει $\angle AIC = 90^{o} + \angle \dfrac{B}{2}$ ενώ $\angle DSM = 90^{o} - \angle SDM$ . Αρκεί επομένως $\angle \dfrac{B}{2} = \angle SDM$ ή το DSCB

να είναι εγγράψιμο.

Φέρνω $SK \perp BC$ και $SL \perp AB$ . Το

ανήκει στη διχοτόμο της

και άρα

. Ακόμα

και τώρα εύκολα έχουμε ότι τα τρίγωνα SKC

και

είναι

ίσα. Άρα $\angle SCB = \angle ADS$ που δίνει ότι το DSCB

είναι εγγράψιμο. Το ζητούμενο έπεται.

*Προσθήκη: Μόλις τώρα είδα ότι ένας πιο κομψός τρόπος για την εγγραψιμότητα του DSCB

είναι το θεώρημα του Νότιου Πόλου για το τρίγωνο BDC

.

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Νέα καθετότητα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η διχοτόμος , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνει τη διχοτόμο της $\hat{B}$ στο σημείο ,

ενώ η μεσοκάθετος της την τέμνει σε σημείο . Δείξτε ότι : $DS \perp AI$ .

Καλησπέρα.

\

: Νέα καθετότητα.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Από το θεώρημα του νότιου πόλου η μεσοκάθετος στην

και η διχοτόμος της γωνίας , $\widehat {CBD}$ τέμνονται πάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BDC

.

Άρα : $\widehat x = \widehat y + \widehat z = \dfrac{{\widehat B}}{2} + \dfrac{{\widehat C}}{2}$ και το ζητούμενο προφανές.

Φιλικά Νίκος

Όση ώρα έγραφα ο Νεαρός Ραφαήλ γάζωνε !

Νέα καθετότητα

Νέα καθετότητα

Re: Νέα καθετότητα

Re: Νέα καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση