Ανάποδο ισοσκελές

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9288
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανάποδο ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Σεπ 19, 2016 6:08 pm

Ανάποδο  ισοσκελές.png
Ανάποδο ισοσκελές.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Τα D,E,F είναι τα ίχνη των υψών τριγώνου \displaystyle ABC και η EF τέμνει τον περίκυκλό του ,

στα σημεία P , S . Ονομάζω N,L τα σημεία τομής των BP,DF και CS,DE αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το τρίγωνο ANL είναι ισοσκελές και επίσης ότι :NL\parallel BC


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6243
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανάποδο ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 19, 2016 9:10 pm

KARKAR έγραψε:Ανάποδο ισοσκελές.pngΤα D,E,F είναι τα ίχνη των υψών τριγώνου \displaystyle ABC και η EF τέμνει τον περίκυκλό του ,

στα σημεία P , S . Ονομάζω N,L τα σημεία τομής των BP,DF και CS,DE αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το τρίγωνο ANL είναι ισοσκελές και επίσης ότι :NL\parallel BC
Καλησπέρα σε όλους!
Ανάποδο ισοσκελές.png
Ανάποδο ισοσκελές.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές
Από θεώρημα Nagel η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από το A είναι κάθετη στην EF, άρα το A είναι το μέσο του τόξου PS,

οπότε \boxed{AP=AS} και όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Επίσης τα τετράπλευρα BFEC, BASC είναι εγγράψιμα, άρα \displaystyle{A\widehat EF = \widehat B = L\widehat SA}. Επειδή όμως τα ύψη τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες

του ορθικού, θα είναι \displaystyle{A\widehat EF = D\widehat EC = L\widehat EA}, άρα το ALSE είναι εγγράψιμο και \displaystyle{A\widehat LS = A\widehat EF = L\widehat SA \Rightarrow AS = AL}.

Ομοίως AN=AP, οπότε το τρίγωνο ANL είναι ισοσκελές.

Εύκολα τώρα έχουμε \displaystyle{F\widehat NA = E\widehat LA \Rightarrow DN = EL} κι επειδή η DA διχοτομεί τη γωνία \hat{FDE}, θα είναι \displaystyle{DA \bot NL \Leftrightarrow } \boxed{NL||BC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης