Αξιόλογη καθετότητα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
Αξιόλογη καθετότητα
Η διχοτόμος της τέμνει το τμήμα στο σημείο . Δείξτε ότι .
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Αξιόλογη καθετότητα
Έστω το σημείο που εφάπτεται ο έγκυκλος στην . Φέρνουμε τα τμήματα και .
Ισχύει ότι , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, συνεπώς η διχοτόμος είναι και μεσοκάθετος στο , άρα .
Επομένως η είναι διχοτόμος της , το είναι χαρταετός και (1).
Αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι η είναι διχοτόμος της .
Όμως το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει ότι . Άρα το είναι εγγεγραμμένο.
Επειδή , προκύπτει ότι το σημείο αποτελεί την τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την μεσοκάθετη του . Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος του νότιου πόλου προκύπτει ότι η είναι διχοτόμος της και το ζητούμενο έπεται.
edit: προστέθηκε το σχήμα
Ισχύει ότι , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, συνεπώς η διχοτόμος είναι και μεσοκάθετος στο , άρα .
Επομένως η είναι διχοτόμος της , το είναι χαρταετός και (1).
Αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι η είναι διχοτόμος της .
Όμως το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει ότι . Άρα το είναι εγγεγραμμένο.
Επειδή , προκύπτει ότι το σημείο αποτελεί την τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την μεσοκάθετη του . Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος του νότιου πόλου προκύπτει ότι η είναι διχοτόμος της και το ζητούμενο έπεται.
edit: προστέθηκε το σχήμα
- Συνημμένα
-
- Καθετότητα.png (36.15 KiB) Προβλήθηκε 2642 φορές
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Σεπ 21, 2016 11:18 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
Re: Αξιόλογη καθετότητα
Την έχουμε ξαναδεί εδώ: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=54604
Αρμενιάκος Σωτήρης
Re: Αξιόλογη καθετότητα
KARKAR έγραψε:Αξιόλογη καθετότητα.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα .
Η διχοτόμος της τέμνει το τμήμα στο σημείο . Δείξτε ότι .
Μετά την απλή και στοιχειώδη λύση του νεαρού πολλά υποσχόμενου Διονύση
Ας δούμε και μια με μετρικές σχέσεις .
Ας είναι το σημείο επαφής του με την και η τομή των ευθειών ( πολική του ως προς ).
Αν και είναι γνωστό θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των .
Πράγματι: Στο με τέμνουσα την ευθεία και το Θ. Μενελάου έχουμε:
γιατί τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο είναι ίσα.
Αφού δε προφανώς η διχοτομεί την θα είναι και η εσωτερική διχοτόμος του και άρα .
Φιλικά Νίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες