Αξιόλογη καθετότητα

[KARKAR]

Αξιόλογη καθετότητα.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 2697 φορές

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα .

Η διχοτόμος της τέμνει το τμήμα στο σημείο . Δείξτε ότι .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω το σημείο που εφάπτεται ο έγκυκλος στην . Φέρνουμε τα τμήματα και .

Ισχύει ότι , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, συνεπώς η διχοτόμος είναι και μεσοκάθετος στο , άρα .

Επομένως η είναι διχοτόμος της , το είναι χαρταετός και (1).

Αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι η είναι διχοτόμος της .

Όμως το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) ισχύει ότι . Άρα το είναι εγγεγραμμένο.

Επειδή , προκύπτει ότι το σημείο αποτελεί την τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την μεσοκάθετη του . Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος του νότιου πόλου προκύπτει ότι η είναι διχοτόμος της και το ζητούμενο έπεται.

edit: προστέθηκε το σχήμα

[sot arm]

Την έχουμε ξαναδεί εδώ: http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=54604

[Doloros]

Αξιόλογη καθετότητα.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα .

Η διχοτόμος της τέμνει το τμήμα στο σημείο . Δείξτε ότι .

Μετά την απλή και στοιχειώδη λύση του νεαρού πολλά υποσχόμενου Διονύση

Ας δούμε και μια με μετρικές σχέσεις .

Ας είναι το σημείο επαφής του με την και η τομή των ευθειών ( πολική του ως προς ).

Αν και είναι γνωστό θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των .

Πράγματι: Στο με τέμνουσα την ευθεία και το Θ. Μενελάου έχουμε:

Αξιόλογη καθετότητα.png (34.04 KiB) Προβλήθηκε 2593 φορές

γιατί τα εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο είναι ίσα.

Αφού δε προφανώς η διχοτομεί την θα είναι και η εσωτερική διχοτόμος του και άρα .

Φιλικά Νίκος