Μόνον ίσα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9288
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μόνον ίσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Σεπ 26, 2016 2:20 pm

Μόνον   ίσα.png
Μόνον ίσα.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές
Η χορδή CD είναι παράλληλη προς τη διάμετρο AB του ημικυκλίου και βρίσκεται

σε ύψος όσο το μισό της ακτίνας . Σημείο S κινείται επί της CD και με βάση την CS

σχεδιάζω το ισόπλευρο PCS , του οποίου η πλευρά PS τέμνει το τόξο στο σημείο T .

Από το P φέρω ευθεία \parallel AB , η οποία τέμνει την DT στο N . Δείξτε ότι NC=NT


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 614
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μόνον ίσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Σεπ 26, 2016 3:22 pm

Έστω M το μέσο του τόξου CD.Φέρνουμε την CT. Έχουμε ότι \widehat{CTD}=\widehat{CMD}.

Έστω O το μέσο του AB. Φέρνουμε την CO, την DO και την MO. Το CMDO είναι ρόμβος, καθώς οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο K και διχοτομούνται, αφού MK=KO και CK=DK (επειδή το OK είναι απόστημα στην CD). Άρα CM=CO=MO. Συνεπώς το τρίγωνο COM είναι ισόπλευρο και \widehat{OCM}=60.

Άρα \widehat{CTD}=\widehat{CMD}=120. Επομένως, η γωνία \widehat{CTN}=60. Επειδή NP//CD, ισχύει ότι \widehat{NPC}=\widehat{PCD}=60. Άρα το NPTC είναι εγγράψιμο, συνεπώς \widehat{CNT}=\widehat{CPT}=60. Άρα το τρίγωνο CNT είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο ισχύει προφανώς.

edit: προστέθηκε σχήμα
Συνημμένα
Μόνον ίσα.png
Μόνον ίσα.png (55.2 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Δευ Σεπ 26, 2016 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1268
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μόνον ίσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Σεπ 26, 2016 3:32 pm

\displaystyle{OE = \frac{{OC}}{2} \Rightarrow \angle OCE = {30^0} \Rightarrow \angle OCP = {30^0} + {60^0} = {90^0} \Rightarrow PC} εφαπτόμενη \displaystyle{ \Rightarrow \angle x = \angle y \Rightarrow NPTC} εγγράψιμο\displaystyle{ \Rightarrow \angle TNC = \angle CPT = {60^0}}

Ακόμη,\displaystyle{\angle NTC = \angle Q = \angle PCS = {60^0}}.Έτσι \displaystyle{\vartriangle NTC} ισόπλευρο \displaystyle{ \Rightarrow \boxed{NT = NC}}
ISA.png
ISA.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5396
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μόνον ίσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Σεπ 26, 2016 6:07 pm

KARKAR έγραψε:Μόνον ίσα.pngΗ χορδή CD είναι παράλληλη προς τη διάμετρο AB του ημικυκλίου και βρίσκεται

σε ύψος όσο το μισό της ακτίνας . Σημείο S κινείται επί της CD και με βάση την CS

σχεδιάζω το ισόπλευρο PCS , του οποίου η πλευρά PS τέμνει το τόξο στο σημείο T .

Από το P φέρω ευθεία \parallel AB , η οποία τέμνει την DT στο N . Δείξτε ότι NC=NT

Χαιρετώ άπαντες .
Μόνο ίσα.png
Μόνο ίσα.png (32.63 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές
Επειδή \widehat {CTD} = 120^\circ  \Leftrightarrow \widehat {NTC} = 60^\circ . Από NP//CD έχουμε: \widehat \theta  = \widehat {PSC} = 60^\circ.

Οπότε αναγκαστικά και \widehat \omega  = 60^\circ δηλαδή το τετράπλευρο NPTC είναι εγγράψιμο .

Τώρα όμως θα είναι και \widehat x = 60^\circ επομένως το τρίγωνο \vartriangle NCT είναι ισόπλευρο .

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης