Μόνον ίσα

KARKAR · #1

: Μόνον ίσα.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 2344 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς τη διάμετρο

του ημικυκλίου και βρίσκεται

σε ύψος όσο το μισό της ακτίνας . Σημείο

κινείται επί της

και με βάση την

σχεδιάζω το ισόπλευρο PCS

, του οποίου η πλευρά

τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Από το

φέρω ευθεία $\parallel$

, η οποία τέμνει την

στο

. Δείξτε ότι NC=NT

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το μέσο του τόξου

.Φέρνουμε την

. Έχουμε ότι $\widehat{CTD}=\widehat{CMD}$ .

Έστω

το μέσο του

. Φέρνουμε την

, την

και την

. Το

είναι ρόμβος, καθώς οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο

και διχοτομούνται, αφού MK=KO

και

(επειδή το

είναι απόστημα στην

). Άρα

. Συνεπώς το τρίγωνο COM

είναι ισόπλευρο και $\widehat{OCM}=60$ .

Άρα $\widehat{CTD}=\widehat{CMD}=120$ . Επομένως, η γωνία $\widehat{CTN}=60$ . Επειδή NP//CD

, ισχύει ότι $\widehat{NPC}=\widehat{PCD}=60$ . Άρα το NPTC

είναι εγγράψιμο, συνεπώς $\widehat{CNT}=\widehat{CPT}=60$ . Άρα το τρίγωνο CNT

είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο ισχύει προφανώς.

edit: προστέθηκε σχήμα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

$\displaystyle{OE = \frac{{OC}}{2} \Rightarrow \angle OCE = {30^0} \Rightarrow \angle OCP = {30^0} + {60^0} = {90^0} \Rightarrow PC}$ εφαπτόμενη $\displaystyle{ \Rightarrow \angle x = \angle y \Rightarrow NPTC}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle TNC = \angle CPT = {60^0}}$

Ακόμη, $\displaystyle{\angle NTC = \angle Q = \angle PCS = {60^0}}$ .Έτσι $\displaystyle{\vartriangle NTC}$ ισόπλευρο $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{NT = NC}}$

: ISA.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 2323 φορές

#4

KARKAR έγραψε:Μόνον ίσα.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς τη διάμετρο του ημικυκλίου και βρίσκεται

σε ύψος όσο το μισό της ακτίνας . Σημείο κινείται επί της και με βάση την

σχεδιάζω το ισόπλευρο , του οποίου η πλευρά τέμνει το τόξο στο σημείο .

Από το φέρω ευθεία $\parallel$ , η οποία τέμνει την στο . Δείξτε ότι

Χαιρετώ άπαντες .

: Μόνο ίσα.png (32.63 KiB) Προβλήθηκε 2292 φορές

Επειδή $\widehat {CTD} = 120^\circ \Leftrightarrow \widehat {NTC} = 60^\circ$ . Από NP//CD

έχουμε: $\widehat \theta = \widehat {PSC} = 60^\circ$ .

Οπότε αναγκαστικά και $\widehat \omega = 60^\circ$ δηλαδή το τετράπλευρο NPTC

είναι εγγράψιμο .

Τώρα όμως θα είναι και $\widehat x = 60^\circ$ επομένως το τρίγωνο $\vartriangle NCT$ είναι ισόπλευρο .

Φιλικά Νίκος

Μόνον ίσα

Μόνον ίσα

Re: Μόνον ίσα

Re: Μόνον ίσα

Re: Μόνον ίσα

Μέλη σε σύνδεση