Μέγιστο ύψος

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9283
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Σεπ 27, 2016 12:56 pm

Μέγιστο  ύψος.png
Μέγιστο ύψος.png (32.83 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB . Με βάση την AS και προς τα "πάνω" ,

σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο PAS . Βρείτε το μέγιστο ύψος της κορυφής P


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 27, 2016 7:05 pm

KARKAR έγραψε:Μέγιστο ύψος.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB . Με βάση την AS και προς τα "πάνω" ,

σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο PAS . Βρείτε το μέγιστο ύψος της κορυφής P
Ας πούμε πρώτα δυο λόγια για την κατασκευή που μεγιστοποιεί το ύψος h
Μέγιστο ύψος.png
Μέγιστο ύψος.png (12.27 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές
Έστω O, M το κέντρο και το μέσο του ημικυκλίου και N το μέσο του OM. Από το N φέρνω παράλληλη στην AB που τέμνει

το ημικύκλιο στα σημεία H, S (το S πιο κοντά στο B). Η κατασκευή (προς τα πάνω) του ισοπλεύρου ASP ορίζει την θέση του P.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ύψος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 27, 2016 8:22 pm

Στην άσκησή μας τώρα. Θα δείξω ότι \displaystyle{\omega  = \varphi  = {15^0}}
Μέγιστο ύψος.2.png
Μέγιστο ύψος.2.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές
Έστω R η ακτίνα του ημικυκλίου και a η πλευρά του ισοπλεύρου. \displaystyle{a = 2R\cos \omega ,h = a\cos \varphi  \Rightarrow } \boxed{h = 2R\cos \omega \cos \varphi }

Αρκεί λοιπόν να βρούμε τη μέγιστη τιμή του γινομένου \boxed{\cos \omega \cos \varphi }. Αλλά λόγω του ισοπλεύρου είναι φανερό ότι \displaystyle{\omega  + \varphi  = {30^0}}

\displaystyle{\cos \omega \cos \varphi  = \cos \omega \cos ({30^0} - \omega ) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\cos ^2}\omega  + \frac{1}{2}\sin \omega \cos \omega  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(1 + \cos 2\omega ) + \frac{1}{4}\sin 2\omega  = }

\displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}\cos ({30^0} - 2\omega ) \le \frac{{\sqrt 3  + 2}}{4}}, για \displaystyle{\omega  = \varphi  = {15^0}}. Άρα: \boxed{{h_{\max }} = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}

ΥΓ. Και στα δύο σχήματα υπάρχει ένα σημείο E. Αγνοήστε το.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 637
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μέγιστο ύψος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Σεπ 27, 2016 10:17 pm

KARKAR έγραψε:Μέγιστο ύψος.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB . Με βάση την AS και προς τα "πάνω" ,

σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο PAS . Βρείτε το μέγιστο ύψος της κορυφής P
Καλησπέρα,
μέγιστο_ύψος.png
μέγιστο_ύψος.png (33.75 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές
Έστω ABC ισόπλευρο τρίγωνο με την κορυφή C προς την πλευρά του ημικυκλίου και ας είναι M το σημείο τομής των ευθειών PS, CB. Τότε εφόσον \angle APM = \angle ACM = 60^0 , τα σημεία A,P,C,M είναι ομοκυκλικά.

Επίσης έχουμε για τις γωνίες ASM και ABM να είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές (ανάλογα αν το M είναι εντός ή εκτός του τμήματος PS). Οπότε A,S,M,B ομοκυκλικά άρα το M είναι σημείο του αρχικού ημικυκλίου και AM \perp BC. Δηλαδή το M είναι το μέσο της BC και είναι σταθερό.

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι τα A,C, M ορίζουν σταθερό κύκλο διαμέτρου AC και επομένως το P κινείτε επί του ημικυκλίου AC που δεν περιέχει το M.

Επομένως το μέγιστο ύψος θα επιτευχθεί όταν το P θα συμπέσει με το βόρειο πόλο του κύκλου. Στην περίπτωση αυτή το ύψος θα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, έστω N, και θα είναι ίσο με R συν το ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς R. Δηλαδή R+\dfrac{\sqrt{3}}{2}R.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες