Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Φανης Θεοφανιδης · #1

: Ορθογώνιο τρίγωνο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 4691 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : ED=2EA

.

KARKAR · #2

Διέγραψα τη λύση μου , αφού απαντούσε σε ειδική περίπτωση

taratoris · #3

Προεκτείνουμε την

κατα τμήμα AF=EA

. Τότε $\angle ABF= \angle EBA= \phi$ και EB=BF

Τα τρίγωνα CEB,EDB

είναι όμοια άρα $\frac{BD}{BE}=\frac{BE}{BC}$ άρα $\frac{BD}{BF}=\frac{BF}{BC}$ . Συνεπώς τα τρίγωνα FBC,DBF

είναι όμοια.

Συνεπώς $\angle DFB=\omega$ άρα $\angle DFB= \angle DEB$ συνεπώς EDBF

εγγράψιμο.

Άρα $\angle EDF=\angle EBF=2 \phi$ και $\angle EFD=\angle EBD= 2 \phi$ άρα EF=ED

συνεπώς

Φανης Θεοφανιδης · #4

Για την ειδική περίπτωση του KARKAR

.
Θα μπορούσε να ήταν φ=

μοίρες και ω=

μοίρες.

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : .

Καλησπέρα!

: Ορθογώνιο τρίγωνο 13.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 4636 φορές

Φέρνω την $\displaystyle{EH \bot BC}$ και έστω

το κοινό σημείο των AH, DE

. Από υπόθεση είναι $\boxed{3\varphi + \omega = {90^0}}$ και από το εγγράψιμο τετράπλευρο

ABHE

, $\displaystyle{M\widehat EH = M\widehat HE = \varphi }$ , οπότε

είναι το μέσο του

. Εύκολα τώρα βγαίνει ότι $\displaystyle{E\widehat AM = E\widehat MA = 2\varphi \Leftrightarrow EM = EA}$

και το ζητούμενο έπεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : .

Έστω $\displaystyle{P}$ συμμετρικό του $\displaystyle{E}$ ως προς $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{BZ = BE}$

$\displaystyle{\angle EZB = \angle ZEB = \angle AEB = {90^0} - \varphi \Rightarrow \boxed{x = 2\varphi }}$

Έτσι $\displaystyle{\angle EZD = \angle EDB = \omega + 2\varphi \Rightarrow \boxed{ZE = ED}}$ .Αλλά προφανώς $\displaystyle{ZE = EP = 2AE \Rightarrow \boxed{ED = 2AE}}$

: ot13.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 4620 φορές

STOPJOHN · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : .

Καλημέρα
Προεκτείνω την

κατά ίσο τμήμα AE'=AE

Από τα όμοια τρίγωνα $CEB,EBD\Rightarrow EB^{2}=BD.BC$ η σχέση αυτή δειχνει ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία (E,D,B)

εφάπτεται της

Τα ορθογώνια τρίγωνα AEB,ABE'

είναι ίσα άρα $\hat{EBA}=\hat{ABE'}=\hat{\phi },$

Aκόμη $\hat{AE'B}=\hat{CDE}=90-\hat{\phi }$ δηλαδή το τετράπλευρο EDBE'

είναι εγράψιμο σε κύκλο και $\dot{EDE'}=\hat{EE'D}=2\hat{\phi }\Leftrightarrow ED=EE'\Leftrightarrow ED=2EA$

Γιάννης

#8

Η ωραία λύση του Γιάννη σε επίπεδο ύλης Α Λυκείου.

Από τα τρίγωνα $\vartriangle DEB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EBC$ έχουμε: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega + 2\widehat \phi \hfill \\ \widehat {{\theta _2}} = \widehat C + 2\widehat \phi \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και αφού $\widehat C = \widehat \omega$ θα είναι

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ . Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

. Προφανώς , $\widehat T = \widehat {{\theta _2}}$ .

: Ορθογώνιο 13_Φάνης.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 4564 φορές

Άμεση συνέπεια : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat T$ και τα σημεία E,T,B,D

ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Αφού όμως σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο αντιστοιχούν ίσες χορδές ,

$ET = ED \Rightarrow 2EA = ED$ .

Φιλικά Νίκος

Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Μέλη σε σύνδεση