Ορθογώνιο τρίγωνο 13

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Σεπ 29, 2016 8:44 pm

Ορθογώνιο τρίγωνο.png
Ορθογώνιο τρίγωνο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : ED=2EA.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9288
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 29, 2016 9:15 pm

Διέγραψα τη λύση μου , αφού απαντούσε σε ειδική περίπτωση :oops:
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Σεπ 29, 2016 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
taratoris
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 7:11 pm

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από taratoris » Πέμ Σεπ 29, 2016 9:17 pm

Προεκτείνουμε την CA κατα τμήμα AF=EA . Τότε \angle ABF= \angle EBA= \phi και EB=BF

Τα τρίγωνα CEB,EDB είναι όμοια άρα \frac{BD}{BE}=\frac{BE}{BC} άρα \frac{BD}{BF}=\frac{BF}{BC}. Συνεπώς τα τρίγωνα FBC,DBF είναι όμοια.

Συνεπώς \angle DFB=\omega άρα \angle DFB= \angle DEB συνεπώς EDBF εγγράψιμο.

Άρα \angle EDF=\angle EBF=2 \phi και \angle EFD=\angle EBD= 2 \phi άρα EF=ED συνεπώς ED=2EA


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Σεπ 29, 2016 9:53 pm

Για την ειδική περίπτωση του KARKAR.
Θα μπορούσε να ήταν φ=20 μοίρες και ω=30 μοίρες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6243
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:15 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : ED=2EA.
Καλησπέρα!
Ορθογώνιο τρίγωνο 13.png
Ορθογώνιο τρίγωνο 13.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές
Φέρνω την \displaystyle{EH \bot BC} και έστω M το κοινό σημείο των AH, DE. Από υπόθεση είναι \boxed{3\varphi  + \omega  = {90^0}} και από το εγγράψιμο τετράπλευρο

ABHE, \displaystyle{M\widehat EH = M\widehat HE = \varphi }, οπότε M είναι το μέσο του DE. Εύκολα τώρα βγαίνει ότι \displaystyle{E\widehat AM = E\widehat MA = 2\varphi  \Leftrightarrow EM = EA}

και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1268
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Σεπ 29, 2016 11:34 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : ED=2EA.
Έστω \displaystyle{P} συμμετρικό του \displaystyle{E} ως προς \displaystyle{A} και \displaystyle{BZ = BE}

\displaystyle{\angle EZB = \angle ZEB = \angle AEB = {90^0} - \varphi  \Rightarrow \boxed{x = 2\varphi }}

Έτσι \displaystyle{\angle EZD = \angle EDB = \omega  + 2\varphi  \Rightarrow \boxed{ZE = ED}}.Αλλά προφανώς \displaystyle{ZE = EP = 2AE \Rightarrow \boxed{ED = 2AE}}
ot13.png
ot13.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1596
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Σεπ 30, 2016 12:37 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ορθογώνιο τρίγωνο.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι : ED=2EA.
Καλημέρα
Προεκτείνω την CA κατά ίσο τμήμα AE'=AE Από τα όμοια τρίγωνα CEB,EBD\Rightarrow EB^{2}=BD.BC η σχέση αυτή δειχνει ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία (E,D,B) εφάπτεται της EB
Τα ορθογώνια τρίγωνα AEB,ABE' είναι ίσα άρα \hat{EBA}=\hat{ABE'}=\hat{\phi },

Aκόμη \hat{AE'B}=\hat{CDE}=90-\hat{\phi } δηλαδή το τετράπλευρο EDBE' είναι εγράψιμο σε κύκλο και \dot{EDE'}=\hat{EE'D}=2\hat{\phi }\Leftrightarrow ED=EE'\Leftrightarrow ED=2EA


Γιάννης
Συνημμένα
Oρθογώνιο τρίγωνο 13.png
Oρθογώνιο τρίγωνο 13.png (32.62 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5396
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο 13

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 30, 2016 6:48 pm

Η ωραία λύση του Γιάννη σε επίπεδο ύλης Α Λυκείου.

Από τα τρίγωνα \vartriangle DEB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EBC έχουμε: \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega  + 2\widehat \phi  \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _2}} = \widehat C + 2\widehat \phi  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και αφού \widehat C = \widehat \omega θα είναι

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} . Ας είναι T το συμμετρικό του E ως προς το A . Προφανώς , \widehat T = \widehat {{\theta _2}}.
Ορθογώνιο 13_Φάνης.png
Ορθογώνιο 13_Φάνης.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές
Άμεση συνέπεια : \widehat {{\theta _1}} = \widehat T και τα σημεία E,T,B,D ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Αφού όμως σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο αντιστοιχούν ίσες χορδές ,

ET = ED \Rightarrow 2EA = ED.

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης