Εμβαδόν τετραγώνου

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται $\Delta {\rm E} = \Delta \Gamma$ , ${\rm A}{\rm E} = 4$ και ${\rm E}\Gamma = 3\sqrt 2 .$ Βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .$

: area.png (10.32 KiB) Προβλήθηκε 980 φορές

mathxl · #2

Με επιφύλαξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ανδρέας Πούλος · #3

Από λάθος έγραψα 25 τ.μ. Εννοούσα 29 τ.μ.
Το ίδιο αποτέλεσμα με τον Βασίλη.
Νομίζω βρήκα έναν σύντομο τρόπο βασισμένο στον νόμο των συνιμοτόνων.
Θα τον γράψω σύντομα.
Δεν χρειάζεται τον έγραψε ο Θάνος.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#4

Αν ονομάσουμε

τις γωνίες ΔΕΓ και ΔΓΕ , και

τις ΔΕΑ και ΔΑΕ εύκολα βρίσκουμε ότι $x+y=135^{o}$ . Τότε από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΕΓ έχουμε

$\displaystyle{AC^2=4^2 +(3\sqrt{2})^2 -2\cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 135^{o}=58.}$

Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με $AD^2 =\left(\frac{AC}{\sqrt{2}} \right)^2 =\frac{58}{2}=29.$

mathxl · #5

Συμβολίζω με Ε το ζητούμενο εμβαδό
Με Ν.Συνημιτόνων στο ΔΕΓ έχουμε
$\displaystyle{{\rm E}{\Gamma ^2} = \Delta {{\rm E}^2} + \Delta {\Gamma ^2} - 2\Delta {\rm E} \cdot \Delta \Gamma \sigma \upsilon \nu \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma } \Rightarrow }$

$\displaystyle{18 = 2E - 2E\sigma \upsilon \nu \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma } \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma } = \frac{{E - 9}}{E},E > 9}$

όμοια στο ΑΔΕ έχουμε πάλι με νόμο συνημιτόνων ότι
$\displaystyle{{\rm A}{{\rm E}^2} = \Delta {{\rm E}^2} + \Delta {{\rm A}^2} - 2\Delta {\rm E} \cdot \Delta {\rm A}\sigma \upsilon \nu \left( {{{90}^ \circ } - \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma }} \right) \Rightarrow \eta \mu \widehat{{\rm E}\Delta \Gamma } = \frac{{E - 8}}{E},E > 8}$

Από την βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, παίρνουμε
$\displaystyle{{\left( {\frac{{E - 9}}{E}} \right)^2} + {\left( {\frac{{E - 8}}{E}} \right)^2} = 1 \Rightarrow E = 29 \vee E = 5}$
απόπου δεκτή το 29

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Μεσολάβησε το τροποποιημένο μήνυμα του Ανδρέα και αυτό του Θάνου. Ας υπάρχει και αυτή η λύση

Ανδρέας Πούλος · #6

Η άσκηση γενικεύεται. Αν ΑΕ = α και ΓΕ = β. Τότε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι $x^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+ab\sqrt{2}}{2}$

Ανδρέας Πούλος · #7

Ενδιαφέρον για σχολική χρήση παρουσιάζει και το ερώτημα. Να υπολογιστεί το μήκος ΒΕ.
Ανδρέας

Ιστοσελίδα · #8

Καλημέρα.
Μια Γεωμετρική αντιμετώπιση.

Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. Η διαγώνιος ${\rm A}\Gamma = \sqrt 2 x$ . Έστω ΓΖ η προβολή του Γ στην ΑΕ. Εφόσον ${\rm A}\widehat{\rm E}\Gamma = {135^ \circ }$ θα έχω $\Gamma \widehat{\rm E}{\rm Z} = {45^ \circ }$ , οπότε το τρίγωνο $\Gamma {\rm E}{\rm Z}$ θα είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με ${\rm Z}{\rm E} = \Gamma {\rm Z} = 3$ (από πυθαγόρειο ή $\eta \mu {45^ \circ }$ ή $\sigma \upsilon \nu {45^ \circ }$ ). Εφαρμόζω πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}\Gamma {\rm Z}$ και έχω:
${\left( {\sqrt 2 x} \right)^2} = {\left( {4 + 3} \right)^2} + {3^2} \Rightarrow E\mu \beta . = {x^2} = 29\tau .\mu .$

: area-sol.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

#9

Λόγω ολιγοήμερης αποτοξίνωσης από κάθε τι που διαθέτει πληκτρολόγιο, καθυστερημένα δίνω μια προσέγγιση με Αναλυτική Γεωμετρία, εφόσον έχει δοθεί και γεωμετρική και τριγωνομετρική λύση.

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα με κορυφή Δ(0, 0). Έστω τα σημεία Γ(α, 0), Α, (0, α) και Β(α, α), $\displaystyle \alpha > 3\sqrt 2$ .

Το Ε είναι σημείο τομής των κύκλων
$\displaystyle x^2 + y^2 = \alpha ^2 \;\;\;(1),\;\;\left( {x - \alpha } \right)^2 + y^2 = 18\;\;\;(2),\;\;\;\;x^2 + \left( {y - \alpha } \right)^2 = 16\;\;\;\;(3)$

Αφαιρώντας την (3) από τη (2) προκύπτει: $\displaystyle y = x + \frac{1}{\alpha }$ (4)

Αφαιρώντας την (2) από τη (1) προκύπτει: $\displaystyle x = \alpha - \frac{9}{\alpha }$ (5)

Από (4) και (5), προκύπτει: $\displaystyle y = \alpha - \frac{8}{\alpha }$ (6)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των x, y από τις (5), (6) στην (1) έχουμε:
$\displaystyle \left( {\alpha - \frac{9}{\alpha }} \right)^2 + \left( {\alpha - \frac{8}{\alpha }} \right)^2 = \alpha ^2 \; \Leftrightarrow \;...\;\alpha ^4 - 34\alpha ^2 + 145 = 0$ .

Θέτω $\displaystyle \alpha ^2 = t,\;t > 18$ , και προκύπτει η εξίσωση: $\displaystyle t^2 - 34t + 145 = 0\;\; \Leftrightarrow \;t = 29\;\;\eta \;\;t = 5$ που απορρίπτεται.
Η τιμή $\displaystyle \alpha ^2 = 29$ δίνει το εμβαδόν του τετραγώνου.

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Ενδιαφέρον για σχολική χρήση παρουσιάζει και το ερώτημα. Να υπολογιστεί το μήκος ΒΕ.
Ανδρέας

Φαντάζομαι δεν είχε κάτι τέτοιο ο Ανδρέας ο μυαλό του, αλλά μην πείτε, η απλότητα των εργαλείων αυτών δεν είναι αξιοθαύμαστη;

Είναι: $\displaystyle {\rm E}\left( {\alpha - \frac{9}{\alpha },\;\alpha - \frac{8}{\alpha }} \right),\;\;{\rm B}\left( {\alpha ,\;\alpha } \right)$ άρα $\displaystyle \left( {{\rm B}{\rm E}} \right) = \sqrt {\left( {\alpha - \alpha + \frac{9}{\alpha }} \right)^2 + \left( {\alpha - \alpha + \frac{8}{\alpha }} \right)^2 } = \frac{{\sqrt {145} }}{\alpha } = \frac{{\sqrt {145} }}{\sqrt{29} }=\sqrt{5}$

Γιώργος Ρίζος

Ανδρέας Πούλος · #10

Γιώργο,
αυτό που είχα δει ήταν το εξής:
Θεωρώ το Δ ως αρχή των αξόνων, ονομάζω x το μήκος της πλευράς του τετραγώνου
(άρα εκφράζονται συναρτήσει του x τα σημεία Α, Β και Γ)
και ονομάζω (α, β) τη θέση του σημείου Ε.
Τώρα ισχύουν οι σχέσεις:

$a^{2}+b^{2}=x^{2}$

$(x-b)^{2}+ a^{2}=16$

$(x-a)^{2}+a^{2}=18$

Επειδή $EB^{2}=(x-b)^{2}+(x-a)^{2}=16 +18 - x^{2}=32-29=5$ ,

προκύπτει ζητούμενο δηλαδή ΕΒ = $\sqrt{5}$
Φιλικά,
Ανδρέας

Εμβαδόν τετραγώνου

Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Re: Εμβαδόν τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση