Εύρεση Γωνίας ω

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Χαιρετίζω

όλα τα μέλη του

και μαζί στέλνω και μια άσκηση :
Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ και στο ημιεπίπεδο (ΑΓ , Δ) θεωρούμε σημείο Μ ώστε :
$\Delta \hat{A}M = 2\cdot \Delta \hat{\Gamma }M=\hat{\omega }$ και ΑΜ = ΑΒ .
Να βρείτε την ω .

#2

Για την άσκηση του Γιάννη:

: 30-06-2010 Geometry b.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Η γωνία $\displaystyle \widehat{{\rm M}\Delta \Gamma }$ είναι υπό χορδής και εφαπτομένης στο κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα ΑΔ, οπότε είναι μισή της επίκεντρης ω που βαίνει στο τόξο της χορδής ΔΜ.
Το ΜΔΓ είναι ισοσκελές με ΜΔ = ΜΓ, άρα το Μ είναι στη μεσοκάθετο του ΔΓ, άρα και του ΑΒ, οπότε ΜΑΒ ισόπλευρο, άρα $\displaystyle \widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm M}} = 60^\circ \; \Rightarrow \;\omega = 30^\circ$

Βγαίνει και με κυνήγι γωνιών, αλλά η παραπάνω αντιμετώπιση είναι πιο σύντομη και κομψή.

Γιώργος Ρίζος

#3

Και μία μη γυμνασιακή λύση με τριγωνομετρία.

Υποθέτουμε ότι η πλευρά του τετραγώνου ισούται με

. Από το

φέρουμε τις προβολές $\displaystyle{MK,ML}$ στις $\displaystyle{AD,DC}$ αντίστοιχα και ας είναι

$\displaystyle{x=MK,y=ML.}$

Έχουμε τότε $\displaystyle{\tan \omega =\frac{x}{1-y} (1)}$ , $\displaystyle{\tan \frac{\omega}{2}=\frac{y}{1-x}. (2)}$

Επειδή, $\displaystyle{AM=AB=1,}$ έχουμε ακόμα $\displaystyle{\sin \omega =\frac{x}{1}=x.}$

Τότε από την $\displaystyle{(1)}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\cos \omega =1-y.}$ Επομένως, από την (2)

έχουμε

$\displaystyle{\tan \frac{\omega}{2}=\frac{1-\cos \omega}{1-\sin \omega}\Rightarrow \tan \frac{\omega}{2}=\frac{2\sin ^2 \frac{\omega}{2}}{1-\sin \omega}\Rightarrow \frac{1}{\cos \frac{\omega}{2}}=\frac{2\sin \frac{\omega}{2}}{1-\sin \omega}\Rightarrow 1-\sin \omega=\sin \omega \Rightarrow \sin \omega =\frac{1}{2}}$

δηλαδή $\displaystyle{\omega =30^{o}.}$

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

Πολύ ωραίες και από ''άλλες γειτονιές'' των μαθηματικών οι λύσεις !!!
Μια ακόμη (στηρίζομαι στο σχήμα του Γιώργου):
Πάνω στη διχοτόμο της $\Delta \hat{A}M$ θεωρούμε σημείο Κ ώστε ΑΚ =ΜΓ .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΚΑΔ , ΓΜΔτα οποία εύκολα προκύπτει ότι είναι ίσα άρα ΔΚ = ΔΜ .
Ίσα είναι όμως και τα τρίγωνα ΜΑΚ , ΔΑΚ άρα ΚΔ = ΚΜ . Τελικά το ΚΜΔ είναι ισόπλευρο άρα
$K \hat{\Delta }M =60^{o} , M\hat{\Delta \Gamma }=K\hat{\Delta A}=15^{O}\Rightarrow A\hat{\Delta }M=75^{o}\Rightarrow \omega =30^{o}. //$

Εύρεση Γωνίας ω

Εύρεση Γωνίας ω

Re: Εύρεση Γωνίας ω

Re: Εύρεση Γωνίας ω

Re: Εύρεση Γωνίας ω

Μέλη σε σύνδεση