5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5231
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Σεπ 11, 2010 3:46 pm

Αν a,b,c >0 με ab+bc+ca = 1, να αποδειχθεί ότι :

\displaystyle \frac {(a+b)^2+1}{c^2+2} +  \frac {(b+c)^2+1}{a^2+2}+\frac {(c+a)^2+1}{b^2+2} \geq 3

Μπάμπης


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Σάβ Σεπ 11, 2010 3:59 pm

Μια λύση:

Mε δυο διαδοχικές εφαρμογές Caychy Swartz (in Engel form):

\displaystyle \frac{\left(a+b \right)^{2}+1}{c^{2}+2}+\frac{\left(b+c \right)^{2}+1}{a^{2}+2}+\frac{\left(a+c \right)^{2}+1}{b^{2}+2}=\frac{\left(a+b \right)^{2}}{c^{2}+2}+\frac{\left(b+c \right)^{2}}{a^{2}+2}+\frac{\left(a+c \right)^{2}}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{a^{2}+2}\geq \frac{4\left(a+b+c \right)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}+\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}=\frac{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}


Αρκεί:

\displaystyle \frac{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17}{a^{2}\ +b^{2}+c^{2}+6}\geq 3\Leftrightarrow  4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+17\geq 3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)+18\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca

που ισχύει.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν:\displaystyle a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}

Φιλικά,
Κώστας


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 120
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Σεπ 11, 2010 6:57 pm

Το θέμα έχει ξανασυζητηθεί εδώ viewtopic.php?f=49&t=7318&p=41564#p41564
Oμως επειδή η λύση που είχα γράψει τότε είναι κακογραμμένη και δυσανάγνωστη,την ξαναγράφω σε κώδικα latex.
Λόγω της συνθήκης η ανισότητα γράφεται
\frac{(a+b)^2+1}{(c+a)(b+c)+1}+\frac{(c+a)^2+1}{(a+b)(b+c)+1}+\frac{(b+c)^2+1}{(a+b)(c+a)+1}\geq 3
θέτω x=a+b,y=b+c.z=c+a και διαδοχικά έχουμε \frac{x^2+1}{zy+1}+\frac{y^2+1}{zx+1}+\frac{z^2+1}{xy+1}\geq 3\Rightarrow \frac{x^2+1}{2zy+2}+\frac{y^2+1}{2zx+2}+\frac{z^2+1}{2xy+2}\geq \frac{3}{2}.Επειδή \frac{x^2+1}{2zy+2}+\frac{y^2+1}{2zx+2}+\frac{z^2+1}{2xy+2}\geq \frac{x^2+1}{y^2+z^2+2}+\frac{y^2+1}{z^2+x^2+2}+\frac{z^2+1}{x^2+y^2+2},αρκεί \frac{x^2+1}{y^2+z^2+2}+\frac{y^2+1}{z^2+x^2+2}+\frac{z^2+1}{x^2+y^2+2}\geq \frac{3}{2}.Θέτω k=x^2+1,t=y^2+1,m=z^2+1και η ανισότητα γράφεται \frac{k}{t+m}+\frac{t}{k+m}+\frac{m}{k+t}\geq \frac{3}{2}.Η τελευταία ανισότητα είναι η ανισότητα Nesbitt και δίνω μια ενδεικτική απόδειξη της.
\frac{k}{t+m}+\frac{t}{k+m}+\frac{m}{k+t}=\frac{k^2}{kt+km}+\frac{t^2}{tk+tm}+\frac{m^2}{mk+mt}\geq \frac{(k+t+m)^2}{2(kt+km+tm)}\geq \frac{3(km+kt+tm)}{2(km+kt+tm)}=\frac{3}{2}


Κώστας Σφακιανάκης
christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulos703 » Τετ Απρ 05, 2017 4:20 pm

Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 05, 2017 6:58 pm

christodoulos703 έγραψε:Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.
Αντί να κάνεις μόνο δήλωση, καλό θα ήταν να βλέπαμε κιόλας την λύση σου. Αλλιώς είναι άνευ περιεχομένου, και μάλιστα για ερώτημα που τέθηκε πριν 7 χρόνια.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 08, 2017 11:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
christodoulos703 έγραψε:Αντί για BCS βγαίνει και με ανισότητα της αναδιάταξης και Andreescu.
Αντί να κάνεις μόνο δήλωση, καλό θα ήταν να βλέπαμε κιόλας την λύση σου. Αλλιώς είναι άνευ περιεχομένου, και μάλιστα για ερώτημα που τέθηκε πριν 7 χρόνια.
Υπενθύμιση.


christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: 5o Τεστ επiλογής για Βαλκανιάδα Junior - Ρουμανία 2010

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulos703 » Κυρ Απρ 09, 2017 1:21 pm

Βασικά,δεν τα πάω καλά με τους υπολογιστές και για αυτό δεν γνωρίζω πώς να γράψω σε Latex.Για αυτό συγχωρέστε με που δεν μπορώ να δώσω λύσεις.


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης