Βρείτε τη γωνία χ (44)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με σημείο Δ στην ΒΓ, τέτοιο ώστε ΓΔ=ΑΒ. Αν ισχύει $\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = x,\,{\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = 2x,\,\Gamma \widehat {\rm B}{\rm A} = {90^ \circ } - x$ βρείτε τη γωνία x.

: x44.jpg (53.83 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas · #2

Ωραία άσκηση και ας μου επιτραπεί μία υπόδειξη :
Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρ.ΑΒΓ που τέμνει την ΑΔ στο Ε.
Από εδώ οδηγούμαστε στο ότι ΓΑ=ΓΒ. Ο κύκλος με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΔ= ΑΒ τέμνει τον κύκλο αυτό στο Ρ. Το τρίγωνο ΓΔΡ βγαίνει ισόπλευρο…

S.E.Louridas

#3

Αλλιώς

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

hsiodos · #4

Μια λύση ακόμα

Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: $\displaystyle{ \mathop {{\rm B}{\rm A}\Delta }\limits^ \wedge \,\, + \,\,x\,\, + 2x\,\,\, + 90^o - x = 180^o \Rightarrow \mathop {{\rm B}{\rm A}\Delta }\limits^ \wedge \,\,\, = \,\,90^o - 2x}$ οπότε $\displaystyle{ \mathop {{\rm B}{\rm A}\Gamma }\limits^ \wedge \,\,\, = \,\mathop {{\rm B}{\rm A}\Delta }\limits^ \wedge \, + x = 90^o - x = \mathop {{\rm A}{\rm B}\Gamma }\limits^ \wedge }$ . Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{\Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm B}}$ .

Έστω Ε το συμμετρικό του Γ ως προς την ΑΔ. Τότε $\displaystyle{ {\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Gamma \,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\mathop {\Gamma {\rm A}{\rm E}}\limits^ \wedge = 2x}$ και έτσι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΕ είναι ίσα. Συνεπώς $\displaystyle{ \,\mathop {{\rm A}\Gamma {\rm E}}\limits^ \wedge = 90^o - x\,\,\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\,\,\Gamma {\rm E} = {\rm A}{\rm B}\,\, = \Delta \Gamma \,}$ .

Όμως $\displaystyle{\,\Delta {\rm E} = \Delta \Gamma }$ και έτσι προκύπτει ότι το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισόπλευρο. Τώρα $\displaystyle{ \mathop {{\rm A}\Gamma {\rm E}}\limits^ \wedge = 90^o - x \Rightarrow 2x + 60^o = 90^o - x \Rightarrow x = 10^o }$ .

Γιώργος

: x44.png (24.98 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Βρείτε τη γωνία χ (44)

Βρείτε τη γωνία χ (44)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (44)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (44)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (44)

Μέλη σε σύνδεση