Βρείτε τη γωνία χ (49)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΒΑΓ και εσωτερικό σημείο Δ τέτοιο ώστε: $\Delta \widehat {\rm B}{\rm A} = {12^ \circ },\,\,\Delta \widehat {\rm B}\Gamma = {24^ \circ },\,\,\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = {30^ \circ },\,\,\Delta \widehat {\rm A}{\rm B} = {42^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία x.

: x49.jpg (72.37 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

#2

${\color{red}\bullet}\quad \displaystyle{\triangle ADC=>\frac{AD}{\sin x}=\frac{DC}{\sin 30},(1)}$

${\color{red}\bullet}\quad \displaystyle{\triangle BDC=>\frac{BD}{\sin(72- x)}=\frac{DC}{\sin 24},(2)}$

${\color{red}\bullet}\quad \displaystyle{\triangle ADB=>\frac{BD}{\sin 42}=\frac{AD}{\sin 12},(3)}$

${\color{red}\bullet}\quad (1),(2),(3)=>\displaystyle{\frac{\sin (72-x)}{\sin x}=\frac{\sin 24\cdot \sin 42}{\sin 30 \cdot \sin 12}=4\cdot \sin 42\cdot \cos 12=2\sin 54+2 \sin 30=>}$

$\displaystyle{\dots => \sigma\phi x=\frac{2\cdot \sin 54+1+\sin 18}{\cos 18}=>\sigma\phi x=\frac{2\cdot \cos 36+1+\sin 18}{\cos 18}=\color{red}\frac{\cos 18}{\sin 18}}$

είναι : $\displaystyle{\frac{2\cdot \cos 36+1+\sin 18}{\cos 18}=\color{red}\frac{\cos 18}{\sin 18}}$ διότι κάνοντας πράξεις μας οδηγεί στην $2\cdot \sin 18\cdot \cos 36=\cos 36-\sin 18$ που ισχύει $\boxed \checkmark$

άρα $\boxed{x=18^o}$

Ιστοσελίδα · #3

Καλημέρα.
Να ευχαριστήσω τη Φωτεινή και να δώσω μια Γεωμετρική λύση.

Από το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ φέρω τη μεσοκάθετο και έστω Κ το σημείο τομής με το τμήμα ΒΔ. Το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές με ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm K} = {12^ \circ }$ , οπότε ${\rm K}\widehat {\rm A}\Delta = {42^ \circ } - {12^ \circ } = {30^ \circ }$ .

Με κέντρο Α και ακτίνα ΑΚ κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει το τμήμα ΑΓ στο Λ. Εφόσον ΑΚ=ΑΛ και ${\rm K}\widehat {\rm A}\Lambda = {30^ \circ } + {30^ \circ } = {60^ \circ }$ το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισόπλευρο.

Η $\Delta \widehat {\rm K}{\rm A} = {12^ \circ } + {12^ \circ } = {24^ \circ }$ σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου ΚΑΒ, οπότε ${\rm A}\widehat \Lambda \Delta = {24^ \circ }$ (μια που τα τρίγωνα ΚΑΔ και ΛΑΔ είναι ίσα από Π-Γ-Π) και $\Delta \widehat {\rm K}\Lambda = {60^ \circ } - {24^ \circ } = {36^ \circ }$ .

Το τρίγωνο ΚΒΛ είναι ισοσκελές (ΚΒ=(ΚΑ)=ΚΛ), επομένως λόγω της εξωτερικής γωνίας ΔΚΛ θα ισχύει $\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm B}\Lambda = \displaystyle\frac{{{{36}^ \circ }}}{2} = {18^ \circ }}$ .

${\rm A}\widehat \Lambda \Delta = \Delta \widehat {\rm B}\Gamma = {24^ \circ }$ , άρα το τετράπλευρο ΔΒΓΛ είναι εγγράψιμο (μια γωνία είναι ίση με την απέναντι εξωτερική του γωνία), οπότε $x = \Delta \widehat {\rm B}\Lambda = {18^ \circ }$ .

: x49-sol.jpg (69.22 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Βρείτε τη γωνία χ (49)

Βρείτε τη γωνία χ (49)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (49)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (49)

Μέλη σε σύνδεση